Cada uno de los tres anillos $\mathbb{C}[[x,y]]$, $R$, y $S$ es local, con un único ideal maximal que consta de potencia de la serie con término constante $0$. Para cada anillo, voy a calcular el espacio vectorial de dimensión del cociente del anillo por el cuadrado de la máxima ideal. Las tres dimensiones del ser distinto, lo que demuestra que los tres anillos son pares no isomorfos como $\mathbb{C}$-álgebras.
Para $\mathbb{C}[[x,y]]$, el máximo ideal de la $\mathfrak{m}$ es el conjunto de alimentación de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $i+j\geq 1$, lo $\mathfrak{m}^2$ es el poder de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $i+j\geq 2$. El cociente $\mathbb{C}[[x,y]]/\mathfrak{m}^2$ tiene una base $1$, $x$, $y$, así es $3$-dimensional.
El anillo de $R$ se compone de potencia de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $n|i-j$. El ideal maximal $\mathfrak{m}$ es el conjunto de alimentación de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $i+j\geq 1$$n|i-j$. Tomando de a pares los productos de tales monomials, podemos obtener monomials $x^iy^j$ la satisfacción de cualquiera de las $i$, $j\geq 2$, o $i\geq 1$, $j\geq n$, o $j\geq 1$, $i\geq n$. El cociente $R/\mathfrak{m}^2$ tiene una base $1$, $xy$, $x^n$, $y^n$, así es $4$-dimensional.
El anillo de $S$ se compone de potencia de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $n|i+j$. El ideal maximal $\mathfrak{m}$ es el conjunto de alimentación de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $n|i+j$$i+j\geq n$, lo $\mathfrak{m}^2$ es el conjunto de alimentación de la serie cuya monomials $x^iy^j$ satisfacer $n|i+j$$i+j\geq 2n$. El cociente $S/\mathfrak{m}^2$ tiene una base
$$
1,x^n, x^{n-1}y, x^{n-2}y^2,\ldots,xy^{n-1},y^n,
$$
así es $(n+2)$-dimensional.
