Deje $n$ ser un entero positivo. Si $A∈\mathscr{M}_{n×n}(\mathbb{C})$, muestran que $A$ $A^T$ son similares.

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Si $A∈\mathscr{M}_{n×n}(\mathbb{C})$, muestran que $A$ $A^T$ son similares.

Tengo que $A=BC$ donde $B,C$ son simétricas, a continuación, $A^T=(BC)^T=C^TB^T=CB$ y, a continuación, $AB=BCB=BA^T$ pero no estoy seguro de si $B$ es nonsingular, o si debo intentar otro camino.

Gracias.

Answer 1

Una manera diferente de la que usted está tratando de usar (pero útil en el sentido de que se utiliza de forma explícita una completa similitud-invariante) es este:

La forma canónica de Jordan del teorema de los rendimientos que, si $\mathbb{F}$ es una forma algebraica-campo cerrado, a dos matrices $A,B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$ son semejantes si y sólo si

$$\forall n\in\mathbb{N}^+,\forall \lambda \in \mathbb{F},\ \, \dim\ker\left((A-\lambda I)^n\right)=\dim\ker\left((B-\lambda I)^n\right)$$

Ahora, desde la $\forall C\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{F})\ \dim\ker C^T=\dim\ker C$, e $(A-\lambda I)^T=A^T-\lambda I$, el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Consejos: Usted sólo tiene que demostrar que para los bloques de Jordan que ha $\lambda$ en la digonal y $1$'s arriba. La conjugación con la antidiagonal de la matriz que ha $1$'s en la antidiagonal debe hacer el trabajo.