Hay $u,v\in L(E): uv-vu=id_E$

Question

Deje $E$ ser una normativa espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Hay continuas transformaciones lineales $u$ $v$ tal forma que:

$$uv-vu=id_E$$

(.ie $\forall x\in E:u(v(x))-v(u(x))=x$)

Sospecho que la respuesta es no. Al $E$ es finito dimensionales podemos utilizar Traza Operador para demostrar que en verdad no hay satisfecho transformaciones. No sé cómo el proceso en el caso de infinitas dimensiones $E$.

Answer 1

Tengo un siguiente razonamiento. Es esto aceptable?

Vamos a suponer que existe $u$ $v$ con esa propiedad. Definir la norma de la transformación lineal $\|u\|=\sup_{\|x\|=1}\|u(x)\|$

Podemos comprobar que la $uv^n-v^nu=nv^{n-1}$ por inducción. Tome $n>(\|uv\|+\|vu\|)$. Entonces tenemos:

$$n\|v^{n-1}\|=\|uv^n-v^nu\|\leq\|v^{n-1}\|(\|uv\|+\|vu\|)$$

O $(\|uv\|+\|vu\|)\ge n$, contradicción.

La única cosa que no estoy seguro de que es la norma de un operador lineal. No siempre existen en una normativa espacio vectorial?