Sesgo de simetría de la matriz subespacio de dimensión y una base

Question

Si $M$ es el espacio vectorial de $2\times 2$ real matrices, entonces yo puedo demostrar que

$$\{A \in M \mid A^\mathrm{T}=-A \}$$

es un subespacio de $M$, desde

$$\left[ \begin{array}{cc} x & z \\ -z & y \end{array} \right]+\left[ \begin{array}{cc} x' & z' \\ -z' & y' \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} x+x' & z+z' \\ -(z+z') & y+y' \end{array} \right]$$

y, para algunos, $\lambda\in\mathbb{R}$

$$\lambda\left[ \begin{array}{cc} x & z \\ -z & y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \lambda x & \lambda z \\ -\lambda z & \lambda y \end{array} \right]$$

Pero no estoy seguro si estoy en lo correcto en la búsqueda de la dimensión y una base del subespacio:

$$\left[ \begin{array}{cc} x & z \\ -z & y \end{array} \right] = x\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right]+y\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]+z\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right]$$

Esto me hace pensar que la base se compone de

$$\left(\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] \right)$$

y por lo que la dimensión es de tres. Es ese derecho?

Answer 1

$$A^\mathrm{T}=-$$ implica que $A$ tiene ceros en la diagonal principal, ya que el cambio de signo en el lado derecho, pero se mantienen sin cambios en el lado izquierdo. si usted incorpore en su representación, debe ser fácil responder a la pregunta acerca de la dimensión y una base.

como un ejercicio, usted podría considerar la $2 \times 2$ matrices con entradas complejas. estos son isomorfos a $\Bbb{R}^8$ como un verdadero espacio vectorial, y a $\Bbb C^4$ como un complejo espacio vectorial. el skew-hermitian matrices satisfacer: $$A^{\mathrm{T}}+ + ^* =0$$ donde $A^*$ es el conjugado complejo de $A$. el skew-hermitian matrices son isomorfos a un $4$-dimensiones subespacio de $\Bbb R^8$. sin embargo, en $\Bbb C^4$ son sólo un subgrupo, pero no forman un subespacio - los elementos de la diagonal debe ser puramente imaginario y esta propiedad no se conserva bajo la multiplicación por un arbitrario complejo de escalar.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$ satisface $A^\top=-A$ si y sólo si $$\begin{bmatrix} a&c\\b&d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a&-b\\-c&-d \end{bmatrix}$$ Es decir, $A^\top=-A$ si y sólo si $$A= \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&b\\-b&0 \end{bmatrix} = b \begin{bmatrix} 0&1\\-1&0 \end{bmatrix}$$ Por lo tanto $$\DeclareMathOperator{Skew}{Skew}\Skew_2=\DeclareMathOperator{Span}{Span}\Span\left\{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}\right\}$$ En particular, $\Skew_2$ es un subespacio de $M_2$$\dim\Skew_2=1$.

Una de las ventajas de que el argumento anterior es muestra de que $\Skew_2$ es generado por un subconjunto de a $M_2$ no tenemos que comprobar manualmente si $\Skew_2$ es un subespacio. La desventaja, por supuesto, es que las fórmulas son más difíciles para trabajar en el caso general,$\Skew_n$. @matemáticas.noob de la respuesta da la más elegante de la prueba de que $\Skew_n$ es un subespacio de $M_n$.

Answer 3

Más en general, incluso si $A$ $B$ $n \times n$ matrices, que aún forman un subespacio porque: $(A+\lambda B)^T = A^T + \lambda B^T$

Por lo tanto, si $A^T = -A$ $B^T = -B$ obtenemos $(A+\lambda B)^T = -(A + \lambda B)$ lo que demuestra que $A + \lambda B$ pertenece al conjunto de sesgar simétrica $n \times n$ matrices.

Acerca de la dimensión, bien, sólo es necesario determinar la parte triangular superior de la matriz. La diagonal de entradas va a ser cero, porque para cualquier $i$ debemos tener: $a_{ii} = -a_{ii}$, lo que implica $a_{ii} = 0$ Así que, ¿cuántas entradas se debe rellenar con el fin de formar una triangular superior de la matriz, con cero en la diagonal de las entradas?