¿Utiliza logarítmicas y trigonométricas reglas de corazón?

Question

Técnicamente no primaria matemática pregunta, pero estoy realmente interesado en que: yo soy capaz de demostrar que , por ejemplo, $\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A \sin B$ o que $\log(A)+ \log(B) = \log(AB)$. También entiendo por qué es así.

Pero al final del día, yo simplemente tienes que memorizar estas reglas. No es como que me veo en un cálculo incluyendo trigonométricas-funciones o logaritmos y "tiene un sentimiento natural" para el cálculo como dividir, multiplicar, factorización y así sucesivamente, donde tengo un poco de "ver" el resultado y los pasos.

Así que aquí está mi pregunta: yo siempre estoy un poco confundido si yo simplemente no tienen suficiente rutina en el uso de estas operaciones o si es sólo en el caso habitual, que uno no simplemente "ver, o tener una sensación natural" para estos cálculos ?

Porque cada vez que veo a un profesor o cualquier tutoriales tratar con ellos parece que obtener estos resultados como que "obviamente" .

Ambos ejemplos son elegidos al azar, hay un montón de otros relacionados especialmente con estos temas.

Answer 1

Para tener un "sentimiento natural" con algunas identidades he tenido la experiencia de que para mí no es suficiente para conocer la prueba de ello. He utilizarla en la solución de excersises y problemas para desarrollar una fluidez de uso. A menudo puede no ser suficiente.

Usted puede considerar la definición en términos de la función exponencial de las funciones trigonométricas a partir de la identidad de Euler

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$

desde que se puede decir que

$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \qquad \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

a partir de estas identidades son capaces de deducir conocido identidades trigonométricas (por ejemplo, la suma y la duplicación).

$$\sin(2x)=\frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}=\frac{(e^{ix}-e^{ix})(e^{ix}+e^{-ix})}{2i}=2\sin(x)\cos(x)$$

Creo también que esta es una más general del problema de aprendizaje: matemáticas stataments son imprevisibles también después de la lectura de la prueba de ello. Una condición necesaria para conocer profundamente un teorema es apropiado experimentado con todos los elementos de su prueba, tienen que aparece suficientemente claro como para tu mente.

Echa un vistazo a esta pregunta y la respectiva respuesta!

Answer 2

Probablemente, hay una sutil diferencia entre el reconocimiento de que usted adquiere en el uso táctico y la reutilización de una regla para resolver problemas y la capacidad para encontrar al instante una explicación para ello en términos de reglas básicas. Entonces, probablemente, sólo en el último califica como la intuición; y para la práctica de pruebas, como usted ha estado haciendo, es la mejor manera de tener explicaciones que vienen a la mente rápidamente.

Pero, al igual que la adquisición de vocabulario en una lengua extranjera, es probable que tenga que olvidar y reconstruir las pruebas varias veces para adquirir familiaridad.

Algunas pruebas son más fáciles de recordar que los otros, como yo los he encontrado.

Por ejemplo, usted podría probar que la suma de ángulos fórmulas a través de la geometría Euclidiana, a través de la geometría analítica, o por considerar que la multiplicación de matrices de rotación equivale a la adición de ángulos. Es este último enfoque que he encontrado más fácil de recordar.

$\left( \begin{array}{c} c_1 & -s_1 \\ s_1 & c_1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} c_2 & -s_2 \\ s_2 & c_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c_1 c_2 - s_1 s_2 & \ldots \\ s_1 c_2 + c_1 s_2 & \ldots \end{array} \right)$

(Por cierto, la "fila por la columna de" enfoque a la multiplicación de la matriz es más táctico que intuitivo. Pero tienes que elegir cuando a la función en el modo de reconocimiento y en la intuición modo, dependiendo de las necesidades del momento.)

Answer 3

Una vez que hayas trabajado con estas reglas mucho, van a ser "natural" - para mí, el logaritmo de las reglas simplemente "se siente bien" ahora, pero cuando me enteré que ellos no. En el ínterin, sin embargo, la cosa a tener en cuenta es - en mi opinión - que sabiendo que la fórmula no es realmente importante. Usted debe saber que la fórmula que existe. Objetivo para empezar a reconocer que, por ejemplo, $\log(AB)$ puede ser reemplazado con algo para deshacerse del producto. Una vez que he visto que puede ser hecho, entonces usted puede buscar en su memoria o de sus notas para la fórmula exacta. Para tomar un ejemplo personal: sinceramente, no sé de algunas de las identidades trigonométricas de las sumas de ángulos. En lugar de eso, acabo de recordar que hay una fórmula que me permite activar $\sin{A}\cos{B}$ en una suma de dos funciones trigonométricas - que es enormemente útil para la integración.

Además, como consejo general: tenga en cuenta que su instructor y cualquier tutoría online videos que usted puede observar lo preparan los problemas que hacen ampliamente antes de tiempo. Por eso no los vemos nunca hacer aritmética de los errores o hacer el problema del mal - y es la razón por la que parece que nunca tiene que pensar acerca de lo que están haciendo. No espere ser capaz de hacer el problema fácilmente.

Answer 4

La exponenciación. Esta es probablemente la más importante de las reglas que se deben saber.

$(x^2)(x^3) = (x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x) = x^5\\ (a^x) (^y) = a^{x+y}\\ f(x) = e^x \implica f(x+y) = e^{x+y} = (e^x)(e^y) = (f(x))(f(y))$

Los logaritmos son la inversa de la exponenciación. Y, entonces, el producto de la regla se invierte.

$\log ab = \log a + \log b$

El resto de la sesión reglas son las consecuencias de que uno. De hecho, si usted no sabe nada más acerca de los logaritmos, que es lo que usted debe saber.

Como para las funciones trigonométricas. Saber cómo estas funciones se relacionan con el círculo unidad y la mayoría de las identidades trigonométricas flujo de eso. Me aprendí de memoria el ángulo, además de las reglas.

$\cos (x+y) = \cos x\cos y - \sin x\pecado y\\ \sin(x+y) = \sin x\cos y + \cos x\pecado y$

Y así, tuve que pensar, que uno de los suplentes del pecado y del coseno funciones en cada período y que no, y que uno tiene un signo de menos en ella.

Vale la pena saber que $\sin x$ es una función impar...es decir $\sin -x = - \sin x$ $\cos x$ es una función par $\cos -x = \cos x$

Hay una conexión entre la trigonométricas-funciones y los números complejos. $(\cos x + i \sin x)(\cos y + i\sin y) = \cos (x+y) + i\sin (x+y)$ Y, por lo que si usted sabe esto, entonces la derivación de la suma de ángulos reglas es obvio.

También hay una conexión entre las funciones trigonométricas y la función exponencial, pero que podría ser un paso demasiado lejos para ahora mismo.

El resto de las identidades y de las reglas de flujo de este pequeño conjunto. Nunca traté de memorizar, pero puedo ver el $\cos a \cos b$ y sabemos que debe ser una identidad que se relaciona a $\cos (a+b)$ y después de pensar durante unos segundos que se pueden derivar de la de la regla, vendrá a mí.