Límite e Integral del problema el trabajo de verificación-2

Question

Tengo que calcular los siguientes:

$$\large\lim_{x \to \infty}\left(\frac {\displaystyle\int\limits_{x^{2}}^{2x}t^{4}e^{t^{2}}dt}{e^{x}-1-x - \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{6}-\frac{x^4}{24}}\right)$$

Mi intento:

Deje $F(x)=\displaystyle\int\limits_0^xt^4e^{t^2}dt$. A continuación,

$$\large\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\displaystyle\int\limits_{x^{2}}^{2x}t^{4}e^{t^{2}}dt}{e^{x}-1-x - \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{6}-\frac{x^4}{24}}\right)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac {F(2x) - F(x^2)}{e^{x}-1-x - \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{6}-\frac{x^4}{24}}\right)$$

La aplicación de la regla de L'Hôpital, tenemos,

$$\large\begin{align}\lim_{x \to \infty}\left(\frac {32x^4e^{4x^2} - 2x^9e^{x^4}}{e^{x}-1-x - \frac{x^2}{2}- \frac{x^3}{6}}\right) &= \lim_{x \to \infty}(32x^4e^{4x^2-x} - 2x^9e^{x^4-x}) \\&= \lim_{x \to \infty}\bigg(2x^4e^{4x^2-x}(16-x^5e^{x^4-4x^2})\bigg) = -\infty\end{align}$$

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sugerencia: sugiero el uso de energía de la serie. Podemos escribir la energía de la serie de $e^w$, sustituto $t^2$, e integrar término a término para obtener una serie para la parte superior. La serie de la parte inferior es fácil de escribir.

Comentario: Como se mencionó en un comentario, hay un error en la L'Hospital de la Regla de cálculo. Es corregible.

Answer 2

Sugerencia: Observe que $$\left(\int_{x^2}^{2x}t^4 e^{t^2} dt\right)' = \color{red}2\dot\,(2x)^4 e^{(2x)^2} - \color{red}{2x}\dot\,(x^2)^4 e^{(x^2)^2}$$

y $$e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$$

Answer 3

Para un gran$x, x^2 > 2x.$, por Lo que parece una buena idea para escribir el numerador como $-\int_{2x}^{x^2}t^4e^{t^2}\,dt.$ Aviso que el integrando es positivo y creciente. Por lo tanto el valor absoluto del numerador es $\ge (2x)^4 e^{4x^2}(x^2-2x).$ El denominador es $< e^x$ grandes $x.$, por Lo que en valor absoluto, es claro, no descaradamente obvio, que nuestra expresión en valor absoluto $\to \infty.$ Ahora poner el signo menos para ver el límite en cuestión es $-\infty.$