¿Qué se puede decir sobre $f$ ?

Question

Ayer me enfrenté a esta pregunta en una entrevista.

PREGUNTA: Tenemos una función $f$ en función de tres variables $x_1,x_2,x_3$ . Ahora el gradiente de $f$ es perpendicular en cualquier punto $(x_1,x_2,x_3)$ o en lenguaje matemático, $$\vec r \cdot \nabla f =0$$ Ahora bien, ¿qué se puede decir de $f$ de esta información?

No pude distinguir nada de esto. Y no pude proceder ya que no conocía la relación entre $x_1,x_2,x_3$ . Me dieron la pista de que debía considerar la función $f(t\vec r)$ donde $t$ es un escalar y lo diferenciamos con respecto a $t$ . Lo he calculado como: $$\frac{d}{dt}\left[f(t\vec r)\right]=f'(t\vec r) \vec r$$

Todavía no pude hacer ninguna interpretación. Me preguntaron qué era lo que $f'$ que quería decir. Le dije que era un derivado, pero me preguntó qué significaba. Pero yo no tenía ni idea.

¿Puede alguien ayudarme?

P.D. Puede tomar $\vec r=(x_1,x_2,x_3)$ . El entrevistador no dijo nada sobre esto. Así que creo que sólo será así.

Answer 1

Tus cálculos son erróneos. Deberían ser los siguientes

$$\frac d{dt} f(tx_1, tx_2, tx_3) = \frac{ \partial f}{\partial x_1} \frac { \partial (tx_1)}{\partial t} + \frac{ \partial f}{\partial x_2} \frac { \partial (tx_2)}{\partial t} + \frac{ \partial f}{\partial x_3} \frac { \partial (tx_3)}{\partial t} = \nabla f \cdot \vec r = 0$$

es decir, si se fija una dirección (fix $x_1, x_2, x_3$ ) su función es constante a lo largo de esa dirección.

Por lo tanto, su función sólo depende del ángulo (o la dirección) del punto, no de la distancia. Es decir

$$f(\vec r) = f(\vec r/a)$$

por cada $a > 0$

Tenga en cuenta que, en general, se trata de pas constante.

Es constante si es continua en el origen: en este caso, para cada punto $(x_1, x_2, x_3)$ puedes "volver" a lo largo de la línea que conecta este punto con $0$ (sin cambiar de valor); y si $f$ es continua en $0$ , entonces debe ser que $f(x_1, x_2, x_3) = f(0,0,0)$ para cualquier $(x_1, x_2, x_3)$ .

Por otro lado, si $f$ no es continua (o no está definida) en $0$ entonces tendrás una especie de "esfera" que genera todos los valores de la función, y pueden ser diferentes

Answer 2

Actualización: Mi antigua prueba tenía un error.

Ahora el gradiente de $f$ es perpendicular en cualquier punto $(x_1,x_2,x_3)$ ,

$$ \DeclareMathOperator{grad}{grad} 0 = \grad f \cdot x = x_1 \partial_1 f + x_2 \partial_2 f + x_3 \partial_3 f \quad (1) $$

Esto funciona si el gradiente es cero, lo que significaría $f$ es constante.

¿Pero puede haber un gradiente no nulo?

A continuación se muestra una imagen del caso 2D $h(x_1, x_2) = (x_1, x_2)$ (flechas rojas) y un posible campo vectorial ortogonal (flechas verdes) $g(x_1, x_2) = (-x_2, x_1)$ , ambas longitudes de flecha se reducen a $15\%$ .

( Versión grande , Fuente )

Problema: Este campo $g$ parece tener un rizo distinto de cero y no puede ser un campo de gradiente, ya que los campos de gradiente tienen rizo cero.

Me encantaría tener una prueba de esto, que los campos vectoriales ortogonales no nulos a $h$ no pueden ser campos de gradiente, pero aún no he encontrado ninguno.

El otro argumento es el uso de las curvas de nivel:

El gradiente es ortogonal a las curvas de nivel $f = \text{const}$ que tendría los vectores $h(x) = x = r e_r$ como vectores tangentes. Así que tendríamos curvas $$ r(t) = m t \quad (t \in \mathbb{R}) $$ para vectores constantes $m$ donde $f$ es constante.

Sin embargo, todas esas curvas del mismo nivel se cruzan en el origen, por lo que deben compartir el mismo valor.

Por cierto, el término $\frac{d}{dt}f(t x)$ en $t=0$ es la derivada direccional de $f$ en el origen en $x$ -Dirección $$ D_x f(0) = f'_{0,x} = \left. \frac{d}{dt}f(0 + t x) \right\vert_{t=0} = \left. \grad f \right\vert_0 \cdot x = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right\vert_0= 0 $$