Teorema del resto chino en la categoría regular

Question

Yo quiero probar un teorema del resto Chino para regular las categorías (si esto es posible). Estoy atascado con la siguiente pregunta, que es realmente fácil de responder de manera positiva en el conjunto teórico-caso:

Dado congruencias $R,S$ tal que $SR = \top_A$ (el mayor relación en $A$) en un objeto $A$ y los respectivos cocientes $e_1 : A \to A/R$, $e_2 : A\to A/S$, es el de morfismos $$e := (e_1, e_2) : A\to A/R\times A/S$$ a regular epi?

La condición de "$SR = \top_A$" es equivalente a decir que el $(R_1\circ p_2, S_2\circ p_1)$ es regular epi, donde la esquina superior izquierda en el diagrama siguiente es un retroceso:

Pero no veo cómo conseguir nada útil de este.

Answer 1

$\require{AMScd}$ Considere el diagrama de \begin{CD}A @>{e_2}>> A/S \\ @V{e_1}VV @VV{\tau_2}V \\ A/R @>>{\tau_1}> 1 \end{CD} y denotan $\tau_A$ la única flecha $A\to 1$, que es la diagonal de este cuadrado. Luego, por la Proposición 2.2 en el artículo "Algunas observaciones sobre el Mal'tsev y Goursat categorías", la inducida por la flecha a la retirada (o en este caso, el producto) $A/R\times A/S$ es regular epimorphism si y sólo si $\tau_1^{o} \tau_2=e_1e_2^{o}$. Ahora ya $R=e_1^{o}e_1$, $S=e_2^{o}e_2$ y $\top_A=\tau_A^{o}\tau_A$, tenemos $$e_1^{o}e_1e_2^{o}e_2=\tau_A^{o}\tau_A=e_1^{o}\tau_1^{o}\tau_2e_2;$$ componiendo con $e_1$ a la izquierda y $e_2$ a la derecha nos da $$e_1e_1^{o}e_1e_2^{o}e_2e_2^{o}=e_1e_1^{o}\tau_1^{o}\tau_2e_2e_2^{o}.$$ Ahora $e_1$ $e_2$ son regulares epimorphisms, por lo que tenemos $e_1e_1^{o}=id_A=e_2e_2^{o}$, y por lo tanto $e_1e_2^{o}=\tau_1^{o}\tau_2$.

Nota : la prueba anterior es más o menos la misma que la del Teorema 5.2 en el papel que he mencionado.