Encontrar el límite de $\frac{e^{x}+x-\cos(2x)}{x^2}$

Question

¿Cómo podría uno encontrar el límite para el siguiente problema.

$x\rightarrow\infty$

$\frac{e^{x}+x-\cos(2x)}{x^2}$

Hice el hospital de la regla.

$\frac{e^x+1+2\sin(2x)}{2x}$

Pero ahora estoy atascado hice esto, pero creo que diverge.

$e^x+1+2\sin(2x)*\frac{1}{2x}$

Answer 1

Sugerencia: $$e^x > \dfrac{x^3}{3!}, \qquad x \geqslant 0.$$

Answer 2

Desde $\cos(2x) \leq 1,\,\forall x$, e $e^x = 1+x+x^2/2+x^3/6+\cdots \geq 1+x+x^2/2+x^3/6$, se obtiene, $$\frac{e^{x}+x-\cos(2x)}{x^2} \geq \frac{2x+x^2/2+x^3/6}{x^2} \geq \frac{x^3/6}{x^2} \geq \frac{x}{6},\,\forall x > 0.$$ El límite inferior se bifurca, por lo tanto la serie original.

Answer 3

$$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+x-\cos 2x}{x^2}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+1+2\sin 2x}{2x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x+4\cos 2x}2=\infty$$

El límite de lo que existe (en el sentido amplio de la palabra), ya que $\;\cos 2x\;$ está acotada.

Answer 4

Solución 1: Aplica d Hospital de la regla, una vez más, el resultado.

Solución 2: $e^x$ crece más rápido que cualquier potencia de $x$. Por lo tanto, se ve inmediatamente que la secuencia original diverge.