Son derivados lineal mapas?

Question

Estoy leyendo Rudin y estoy muy confundido lo que es un derivado es ahora. Yo solía pensar un derivado fue sólo el proceso de tomar el límite como esta $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$$

Pero entre Apostol y Rudin, estoy confundido, ¿en qué sentido total de productos derivados son instrumentos derivados.

Derivadas parciales mucho más se asemejan a los habituales derivados de la enseña en la escuela secundaria

$$f(x,y) = xy$$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = y$$

Pero el Jacobiano no se asemejan en absoluto. Y de acuerdo a mis libros es lineal en el mapa.

Si los derivados son lineales, mapas, alguien me puede ayudar a ver más claramente cómo mis intuiciones acerca de los más simples derivados se refieren a las formas más complicadas? Yo no entiendo donde los límites se han ido, ¿por qué es más complejo, y el por qué de las formas más simples no son descritos como lineal mapas.

Answer 1

Una derivada de una función $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ $x \in \mathbb{R}^n$ es lineal en el mapa de $L : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ tal que

$$\lim_{v \rightarrow 0} \frac{f(x+v)-f(x)-L(v)}{\|v\|} = 0$$

o, alternativamente,$f(x+v) = f(x) + L(v) + o(\|v\|)$, es decir, $f(x)$ es la parte constante de $f$$x$, e $L$ es la parte lineal de $f$$x$, y todo lo demás es sub-lineal.

En el caso unidimensional, la lineal mapa es sólo la multiplicación por un escalar, es lo que llamamos escalares $f'(x)$,$L(v) = f'(x)\, v$$v \in \mathbb{R}$.

Para el caso de $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, la derivada parcial en $x$ en la dirección $u$ (un vector unitario en $\mathbb{R}^n$$L(u) \in \mathbb{R}$.

Esto generaliza directamente a las funciones de $f: X \rightarrow Y$ entre espacios de Banach $X$ $Y$ (espacios vectoriales con una norma que, además, de completar, de forma que los límites son bien comportados]).

Answer 2

Si $f:M\to N$ algunos (posiblemente no lineal) de la función (aquí tengo en mente un diffeomorphism), entonces el Jacobiano $J_f$ puede ser visto como un lineal mapa de tomar vectores tangente en algún punto de $p \in M$ y devolver un vector tangente a $f(p) \in N$.

Vamos a considerar el caso en que $M$ $N$ son tanto $\mathbb R^3$. $f$ algunas de campo vectorial (o tal vez podría ser visto como una transformación de un espacio vectorial), y el Jacobiano $J_f$ nos dice acerca de las derivadas direccionales de $f$. Dada una dirección $v$ a un punto de $p$, $J_f(v) = (v \cdot \nabla) f|_p$.

Si $M$ $N$ ambos $\mathbb R^1$, entonces lo que tenemos que hacer? Sólo hay una linealmente independientes vector tangente en cada punto, por lo $J_f$ está determinada únicamente por algunos vector unitario $\hat x$ y obtenemos $J_f(\hat x) = \frac{df}{dx} \hat x$. El Jacobiano de aquí sólo nos dice cómo una unidad de longitud que se estira o se encoge cuando vemos a $f$ como una transformación de la línea real.

Esta es la forma en que el Jacobiano es lineal en el mapa: nos dice cómo las direcciones en el dominio que corresponden a las direcciones en el rango. E incluso 1d derivados puede ser visto de esta manera. Los componentes de la Jacobiana son todavía las derivadas parciales están familiarizados con. Sólo estamos utilizando aquellas derivadas parciales para hablar acerca de las transformaciones de las direcciones bajo alguna función, algunos de mapa.

Answer 3

La forma más simple es lineal en el mapa. Independientemente de la configuración, si usted tiene $G : X \to Y$ que es diferenciable en a $x$, usted tendrá

$$G(y)=G(x)+G'_x(y-x)+o(\| y - x \|)$$

donde $G'_x$ es el derivado de la $G$$x$, que es lineal en el mapa de$X$$Y$. Al $X=Y=\mathbb{R}$, todos lineal mapas son sólo la multiplicación por un número real, por lo que los derivados corresponden directamente a los números reales. Al $X=\mathbb{R}^n,Y=\mathbb{R}^m$, se identifican $G'_x$ con una matriz, la cual llamamos la matriz Jacobiana.

Debido a que el teorema de que el Jacobiano de una función derivable de $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^m$es la matriz de derivadas parciales, no es un análogo de la fórmula para los límites en $\mathbb{R}^n$, donde cada entrada es el límite de un particular en derivadas parciales. No hay analógica directa, simplemente porque no hay manera de hacer sentido de la división por un vector (en general).

Answer 4

Solo voy a responder a partir de lo que la linealidad de un derivado medios; el básico derivado es lineal, cuando se ve desde el contexto adecuado.

Como mencioné en el comentario, si tenemos un espacio vectorial $V$ (digamos que es en el campo de los números reales, $\Bbb R$), entonces se dice que un mapa de $T: V \to V$ es lineal si, dados los vectores $f, g \in V$ y un escalar $c \in \Bbb R$, el siguiente:se

\begin{align*} T(f + g) &= T(f) + T(g) \\ T(cf) &= cT(f). \end{align*}

Así, el truco es pensar en una función de $f: \Bbb R \to \Bbb R$ como pertenecientes al espacio vectorial de las funciones de $\Bbb R$ $\Bbb R$(si es necesario, de convencerse de que realmente este es un espacio vectorial; podemos añadir, multiplicar por escalares, tenemos un $0$ función, etc).

Si llamamos a este espacio vectorial de las funciones de $V$, entonces la derivada \begin{align*}\frac{d}{dx}: V &\to V\\ f &\mapsto \frac{df}{dx} = f' \end{align*}

es un mapa de $V$ $V$(aplicamos la derivada de una función y obtener una función de retorno), y que satisface a la linealidad de los requisitos, como inmortalizó la frase "la derivada de una suma es la suma de los derivados" y el hecho de que podemos "tirar constantes" mientras está tomando un derivado;

$$\frac{d(f + g)}{dx} = \frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx},$$ y

$$\frac{d(cf)}{dx} = c\frac{df}{dx}.$$