La dirección de la fuerza sobre una corriente-cable de carga, relacionado con la energía del campo magnético

Question

Supongamos que tengo un transporte de corriente de alambre con corriente $I$ viene de la página, a lo largo del eje z. Su campo se superpone a la de un campo magnético uniforme $B$ en la dirección x (a la derecha), que existe para $a\le y\le b$ ($a\le0$, $b\ge0$). A continuación es mi intento de representar lo que yo creo que las líneas de campo parecer, el uso de una combinación de software y de dibujo a mano:

Ahora supongamos que mantenemos $b-a$ constante, pero mover el alambre hacia arriba y hacia abajo en relación a la losa de campo uniforme. La condición en la que el alambre está en la parte superior de la losa ($b=0$) claramente tiene más energía en el campo magnético (para una determinada longitud de $\ell$) de la condición en la que el alambre está en la parte inferior. Esto significa que el cable debe experimentar una fuerza hacia abajo, es decir, el campo magnético de la energía puede ser liberada por el movimiento del cable, y esta energía puede ser utilizada para hacer el trabajo.

Pero esto es lo contrario de la dirección correcta para la fuerza de Lorentz, así que ahora estoy desconcertado. Lo que está mal con este argumento?

Para ver si podía descubrir el error, me fui por delante y lo hizo de la integral. La superposición del campo tiene una energía proporcional a $\int \textbf{B}_1\cdot\textbf{B}_2 dv$ además de los términos independientes de la posición del alambre, donde $\textbf{B}_1$ es el uniforme de campo y $\textbf{B}_2$ es el campo del alambre. Si tengo que hacer la integral de una losa de volumen de la longitud de la $\ell$ en la dirección z, I se $IB\ell h+\text{const}$, donde $h=|a|$ y const. significa un término que no varían si $b-a$ se mantiene fijo. La fuerza en el cable por unidad de longitud es, a continuación, $IB\ell$, que es el resultado esperado, pero la fuerza aún parece estar en la dirección equivocada.

Para crear el uniforme de la parte del campo magnético, necesitamos tener una hoja de corriente que viene de fuera de la página en $y=b$, y una hoja de entrar en la página de a $y=a$. Estos deben causar una fuerza hacia arriba en el cable, de acuerdo con la fuerza de Lorentz de la ley y en desacuerdo con el análisis de la energía.

Me parece que se puede hacer también una versión que es geométricamente más simple. Si me deshago de el cable, a continuación, sólo tengo dos cargas dirigida hojas de la corriente. La fuerza de Lorentz que la ley dice que estas hojas se repelen entre sí, y esto también tiene sentido porque el campo magnético contribuye $y$ presión a la tensión de la energía. Pero la energía del campo (por unidad de xz) está claro que va a aumentar si las hojas de llegar más lejos aparte.

Lo que está mal con mi razonamiento aquí?

Answer 1

He aquí una situación más familiar que ilustra el mismo tipo de paradoja: Dos alambres paralelos realización de la igualdad de las corrientes (de la misma magnitud, misma señal) se atraen el uno al otro. Pero dado dos alambres paralelos, cada uno con una corriente fija $I$, el total de energía en su campo magnético es mayor cuando los cables están más cerca. Esto significa que la energía no se conserva en esta situación?

Respuesta: Sí, eso es exactamente lo que significa! Conservación de la energía sólo se sostiene en un modelo sin tiempo-dependiente de las influencias externas. Pero necesitamos un tiempo-dependiente de la influencia externa en el fin de mantener las corrientes constantes como los cables de comenzar a mover. Si ampliamos el modelo para incluir otras entidades dinámicas que de alguna manera están dispuestos a mantener las corrientes constantes, entonces vamos a encontrar que la energía total de que todo el sistema se conserva.

Supongamos, en cambio, que consideramos un modelo que hace no tiene una de sus influencias. En este caso, las corrientes en los alambres disminuirá cuando los cables de empezar a appraoch el uno al otro. Para ver por qué, creo que de los cargos individuales de moverse a lo largo de uno de los cables. La fuerza sobre una carga en el alambre $1$ debido a que el campo magnético de un alambre $2$ es proporcional a $\nabla\times\mathbf{B}_2$. El cargo se quiere mover en un arco circular que se inclina hacia el otro alambre. Pero a medida que la carga se deduce que el arco circular, que no sólo se mueve hacia el otro hilo; es la velocidad permanece constante, lo que significa que la componente de la velocidad paralela a la del alambre debe ser decreciente. En otras palabras, la corriente en el alambre es decreciente.

El mismo razonamiento se aplica en la situación que usted describe.

No he hecho este cálculo de forma explícita, pero apuesto a que si usted no hace este cálculo, contabilidad para la disminución de la corriente de esta manera, usted encontrará que la energía total no cambia.