Determinar si los siguientes son los grupos o no...

Question

Los grupos que se determinarán son $$(\mathbb{R},*) \; \mathbb{defined \; by \;} a*b=a+b+ab\;\;\;\;\;\forall \;a,b\in\mathbb{R}$$ y $$\mathbb{Z\times Z\;defined \;by} \; (a,b)*(c,d)=(ad+bc,bd) \;\;\;\;\;\forall\;a,b,c,d\in\mathbb{Z}$$

He hecho un intento en el tanto, pero no estoy seguro de si estoy en lo correcto o incluso tener argumentos sólidos.

Indicar a nuestro grupo a $G$. He aquí un intento de

Si $a,b \in G=(\Bbb R,*)$, entonces se sigue que $a+b \in G$$ab \in G$. Por lo tanto, $a + b + ab \;\mathbb{must\;} \in G$, por lo que hemos de cierre. Ahora, supongamos $c \in G$. A continuación, $$a*b*c=a+(b+c+abc) = (a +b+c)+abc$$ y por lo $G$ satisface la propiedad asociativa. Ahora, necesitamos encontrar una identidad. Vamos a denotar el potencial de nuestra identidad $e$ $\in G$. Entonces, para $a\in G$ $$a=a*e=a+e+ae=a+0+a(0)=a$$ ya que en adición a esto, tenemos que $e=0$. Por último, tenemos que ver si existe una inversa de a $G$. Tenemos que satisfacer $a*f=e$, de modo que sea f nuestro potencial inverso. Por lo tanto, $a*f=a+f+af=a+a^{-1}+aa^{-1} \neq e = 0$. En virtud de la adición, $a^{-1}=-a$, pero $a(-a)=-a^2$. Esto no nos da 0, a menos que $a=0$. Por lo tanto, G no es un grupo. $$\\$$ $$\\$$ Ahora, si $a,b\in G=(\Bbb Z\times \Bbb Z,*)$, entonces se sigue que $(a,b)*(c,d)=(ad+bc,bd) \;\mathbb{must}\; \in G$, por lo que hemos de cierre. Ahora, supongamos $(q,r)\in G$. Entonces $$(a,b)*(c,d)*(q,r)=(ad+bc,bd)+(cr+dq,dr)$$ Es imposible satisfacer la propiedad asociativa con nuestra $*$ es definido, por lo $G$ no es un grupo.

Así que estoy seguro de que hay muchos errores, como yo empecé a tener muy confundido con este problema. Alguien podría guiarme a lo largo de la carretera correcta?

Answer 1

Los cierres son triviales. Hagamos una lista de lo que hemos de probar:

i) la Asociatividad;

ii) la Existencia de la identidad;

iii) la Existencia de inversos.

Para $(\Bbb R, \ast)$, hay que ver lo $(a \ast b) \ast c$$a \ast (b \ast c)$. Lo que han hecho no hace claro que son iguales. Tenemos: $$\begin{align} (a \ast b) \ast c &= (a + b + ab)\ast c = a+b+ab+c + ac+bc+abc \\ a \ast (b \ast c) &= a \ast (b + c + bc) = a+b+c+bc+ab+ac+abc\end{align}$$ por lo tanto son iguales. Así que he comprobado yo). Para la identidad, queremos $e \in G$ tal que $a \ast e = e \ast a = e$ todos los $a \in G$. Así que queremos: $$a+e+ae= a \implies e + ae = 0 \implies e(1+a) = 0$$ Ahora, $e = 0$ por cada $a$, pero si $a = -1$, tenemos un problema aquí, porque, llamando $a^{-1}$ a un candidato para la inversa de a $-1$, obtenemos: $-1 \ast a^{-1} = -1 + a^{-1} + (-1)a^{-1} = 0$, y por lo $-1 = 0$ por la cancelación de $a^{-1}$, una contradicción. Por lo tanto $-1$ no tiene una inversa, y $(\Bbb R, \ast)$ es no un grupo. La propiedad iii) falla.

Ahora, vamos a ver el otro.

Considere la posibilidad de $(\Bbb Z^2, \ast)$. Si queremos ver que $$\left((a,b)\ast(c,d)\right) \ast (q,r) = (a,b) \ast \left((c,d) \ast (q,r)\right)$$ then we should see each side separately, and then compare. We have: $$\begin{align} \left((a,b)\ast(c,d)\right)\ast (q,r) &= (ad+bc, bd)\ast(q,r) = (adr+bcr + bdq,bdr) \\ (a,b) \ast \left((c,d) \ast (q,r)\right) &= (a,b) \ast (cr + dq, dr) = (adr + bcr + bdq, bdr)\end{align}$$ hence property i) holds. For ii), we want $(e_1, e_2)$ such that $(a,b) \ast (e_1, e_2) = (e_1, e_2) \ast (a,b)$, that is: $(ae_2 + be_1, be_2) = (a,b)$, which gives $e_2 = 1$. And that gives $ + be_1 = $, so $e_1 = 0$. To check that $(0,1)$ really is the identity, see that $(0,1)\ast(a,b) = (0 + a, 1b) = (a,b)$. So, property ii) also holds. Now, let $(\bar{a}, \bar{b})$ be a candidate for the inverse of $(a,b)$. We want: $(a,b) \ast (\bar{a}, \bar{b}) = (0,1)$. That is: $$(a\bar{b} + b\bar{a}, b\bar{b}) = (0,1)$$ Esto ya nos da problemas, ya que si se escoge $b = 0$, la inversa no existe. Por lo tanto $(\Bbb Z^2, \ast)$ es no un grupo, debido a que la propiedad iii) falla.

Answer 2

Para el primero, nota que la identidad debe ser $0$. Sin embargo, a continuación, $-1$ no tiene un inverso.

Para el segundo, la identidad debe ser $(0,1)$. Sin embargo, a continuación, $(0, 0)$ no tiene inversa.

Answer 3

Para el primer problema, usted debe tener cuidado acerca de la sustitución de $f$$a^{-1}$, ya que no sabemos ni si $a^{-1}$ incluso existe todavía. De hecho, $a^{-1}$ no es la inversa de a $a$ bajo adición; es la inversa de a $a$ bajo la operación de la que estamos hablando, es decir,$*$. De hecho, $(\mathbb R, *)$ es casi un grupo, si no fuera por el hecho de que $-1$ no tiene inversa.

Answer 4

Para $(\mathbb{R},*)$ todo lo que usted necesita para demostrar que sigue de homomorphism con la multiplicación en $\mathbb{R}$ mediante la adición de uno. Esto podría funcionar mostrando que el uso de este homomorphism como una alternativa a la definición de $*$ es equivalente a la definición original.

La alternativa de la definición de $a*b$ sería necesario, entonces, agregar uno a cada elemento para obtener el $\mathbb{R}$, se multiplica, y luego restar uno a volver. Esto implicaría $a*b = (a+1)(b+1)-1$, lo que obviamente es equivalente a la definición original.

La pregunta es entonces, si $\mathbb{R}$ con la multiplicación es un grupo, que sólo es, si usted ignorar $0$.