¿Cómo se puede saber si un conjunto es compacto? Según la definición, un conjunto es compacto si para cualquier cubierta abierta existe una subcubierta finita. Sin embargo, no es posible enumerar todas las coberturas abiertas de un conjunto. Entonces, ¿hay alguna forma de saber si es un conjunto compacto? En el caso $R^n$ es fácil ya que sólo hay que comprobar que el conjunto es cerrado acotado pero ¿qué pasa con otros espacios métricos u otros espacios?
Respuesta
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Una condición equivalente en el caso de los espacios métricos es la compacidad secuencial: Toda secuencia en el espacio tiene una subsecuencia convergente.
Existen otras caracterizaciones, pero no suelen ser tan fáciles de verificar (como ser completa y totalmente acotada).
A menudo, se pueden utilizar propiedades básicas de compacidad para demostrar que un espacio dado es compacto. Por ejemplo, un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto y la imagen directa de un conjunto compacto bajo una función continua es compacta.
Existen muchos resultados para demostrar que algunos espacios son compactos. Entre ellos se encuentra el Teorema de Arzelà-Ascoli El Teorema de Banach-Alaoglu y una serie de otros resultados. Estos resultados son importantes precisamente porque, en general, a menudo no es trivial demostrar que algún espacio es compacto.
