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Localmente Lipschitz implica la continuidad

Deje AA ser abierta en Rm; deje g:ARn. Si SA, podemos decir que el S satisface la condición de Lipschitz en S si la función de λ(x,y)=|g(x)g(y)|/|xy| está delimitado por xyS. Decimos que g es localmente Lipschitz si cada punto de A tiene un barrio en el que g satisface la condición de Lipschitz.

Mostrar que si g es localmente Lipschitz, a continuación, g es continua. No a la inversa?

Para la primera parte, supongamos g es localmente Lipschitz. Así, para cada punto de rA, existe un entorno para el que |g(x)g(y)|/|xy| está acotada. Supongamos |g(x)g(y)|/|xy|<M en ese barrio. A continuación, |g(x)g(r)|<M|xr| en ese barrio de r. Por lo tanto,g(x)g(r)xr, y por lo g es continua en a r. Esto significa g es continua en todas partes en A.

Lo acerca a la inversa? No creo que se tiene, pero no puede venir para arriba con un contraejemplo.

9voto

Leon Katsnelson Puntos 274

O x|x|:

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