Localmente Lipschitz implica la continuidad

Question

Deje $A$ ser abierta en $\mathbb{R}^m$; deje $g:A\rightarrow\mathbb{R}^n$. Si $S\subseteq A$, podemos decir que el $S$ satisface la condición de Lipschitz en $S$ si la función de $\lambda(x,y)=|g(x)-g(y)|/|x-y|$ está delimitado por $x\neq y\in S$. Decimos que $g$ es localmente Lipschitz si cada punto de $A$ tiene un barrio en el que $g$ satisface la condición de Lipschitz.

Mostrar que si $g$ es localmente Lipschitz, a continuación, $g$ es continua. No a la inversa?

Para la primera parte, supongamos $g$ es localmente Lipschitz. Así, para cada punto de $r\in A$, existe un entorno para el que $|g(x)-g(y)|/|x-y|$ está acotada. Supongamos $|g(x)-g(y)|/|x-y|<M$ en ese barrio. A continuación, $|g(x)-g(r)|<M|x-r|$ en ese barrio de $r$. Por lo tanto,$g(x)\rightarrow g(r)$$x\rightarrow r$, y por lo $g$ es continua en a $r$. Esto significa $g$ es continua en todas partes en $A$.

Lo acerca a la inversa? No creo que se tiene, pero no puede venir para arriba con un contraejemplo.

Answer 1

O $x \mapsto \sqrt{|x|}$: ${}{}{}{}$