Deje AA ser abierta en Rm; deje g:A→Rn. Si S⊆A, podemos decir que el S satisface la condición de Lipschitz en S si la función de λ(x,y)=|g(x)−g(y)|/|x−y| está delimitado por x≠y∈S. Decimos que g es localmente Lipschitz si cada punto de A tiene un barrio en el que g satisface la condición de Lipschitz.
Mostrar que si g es localmente Lipschitz, a continuación, g es continua. No a la inversa?
Para la primera parte, supongamos g es localmente Lipschitz. Así, para cada punto de r∈A, existe un entorno para el que |g(x)−g(y)|/|x−y| está acotada. Supongamos |g(x)−g(y)|/|x−y|<M en ese barrio. A continuación, |g(x)−g(r)|<M|x−r| en ese barrio de r. Por lo tanto,g(x)→g(r)x→r, y por lo g es continua en a r. Esto significa g es continua en todas partes en A.
Lo acerca a la inversa? No creo que se tiene, pero no puede venir para arriba con un contraejemplo.