Estoy intentando reescribir sinusoidal de la serie en una manera de deshacerse de el factorial.
$$\begin{array}{c c c c c} sin(x) & x & -\ {x^3 \over 3!} & +\ {x^5 \over 5!} & -\ {x^7 \over 7!}\\ & T_0 & T_1 & T_2 & T_3\\ \hline \end{array}$$ Si tenemos el número de los términos de $0$ en adelante. Elegí $3rd$ término a lo largo de $2nd$ plazo para simplificar aún más.
$$ \begin{align} {T_3 \over T_2} & = {-{x^7 \over 7!} \over {x^5 \over 5!}} \\ {T_3 \over T_2} &= -{x^7 \over 7!}\ \cdot {5! \over x^5 } \\ T_3 & = -T_2 \ . \ {x^2 \over 7 \ \cdot 6} \end{align} $$
Pero quiero generalizar por $i$ por lo que, finalmente, acabar con algo como esto:
$$ ^{(*)} \ \ T_i = -\ T_{i-1} \cdot {x^2 \(2i+1) \ 2i} $$ por lo que yo puede escribir mediante programación en un algoritmo recurrente: $$ T = T * (x*x)/(2i+1)/2i $$ (-- a partir de ahora, es magia que no estoy seguro de que es correcto;)
El problema es que, cuando llego a la $$ T_i = - T_{i-1} \cdot {x^{2i+1} \over (2i+1)!}\ \cdot {(2i-1)! \sobre x^{2i-1} } \\ \text{para $i = 3$ de la $T_3$} $$ No sé cómo simplificar desde aquí. Yo sé que tengo que terminar con $^{(*)}$, pero no saben cómo.
Ideas?
Solución de Jacob sugerencia:
$$ \begin{align} T_i & = -\ T_{i-1} \cdot {x^{(2i+1)-(2i-1)} \over (2i+1)!}\ \cdot {(2i-1)! \over 1 } \\ T_i & = -\ T_{i-1} \cdot {x^{2} \over (2i+1)((2i+1)-1)!}\ \cdot {(2i-1)! \over 1 } \\ T_i & = -\ T_{i-1} \cdot {x^{2} \over (2i+1)(2i)!}\ \cdot {(2i-1)! \over 1 } \\ T_i & = -\ T_{i-1} \cdot {x^{2} \over (2i+1)(2i)(2i-1)!}\ \cdot {(2i-1)! \over 1 } \\ T_i & = -\ T_{i-1} \cdot {x^{2} \over (2i+1)(2i)}\ \cdot {1 \over 1 } \end{align} $$
