¿Existen los números complejos "tridimensionales"?

Question

Como ingeniero, aprendí mucho sobre el uso de los números complejos. Una forma que he escuchado $i$ , el número complejo unitario, definido es:

Es ortogonal a la recta de los números reales. Porque $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x} = e^{x}$ podemos ver claramente $e^{\pi i} = -1.$

y el profesor dibuja el círculo unitario.

Sin embargo, esta no es una definición única de $i$ . Mientras que el real 1 es $\hat{x}$ y $i$ representa $\hat{y}$ en la pizarra, hay $\hat{z}$ , $\hat{w}$ etc. que también satisfacen las ecuaciones anteriores.

Podemos utilizar la rotación para trasladar $\hat{z}$ a $\hat{y}$ . Por lo tanto, todavía es posible utilizar la definición "bidimensional" $\mathbb{C}(a) <=> \hat{x} \Re(a) + \hat{y}(-\Im^2(a))$ . En otras palabras, si sólo se preocupan de que $i^2 = -1$ entonces no importa cuál del conjunto infinito de $i$ s que elijas.

Sin embargo, podríamos considerar $?(a) <=> \hat{x} \bullet a + \hat{y} \bullet a + \hat{z} \bullet a$ que satisface $e^{\pi \hat{y}} = -\hat{x}$ , $e^{\pi \hat{z}} = -\hat{x}$ y $e^{\pi \hat{y}\hat{z}} = -\hat{x}$ .

¿Son estos números considerados más útiles que los números complejos normales?

Nota: No estoy preguntando sobre $\mathbb{C}^3$ , $\mathbb{C}^4$ ... como se discute en ¿Plano complejo tridimensional?

Answer 1

William Rowan Hamilton introdujo los cuaterniones en el siglo XIX. Éstos generalizan los números complejos y también los productos cruzados de vectores. Un cuaternión es un objeto de la forma $$ a + bi + cj + dk \tag A $$ donde $a,b,c,d$ son real números y $i,j,k$ son objetos que se pueden multiplicar de la siguiente manera: \begin{align} i^2 = j^2 = k^2 & = -1 \\ ij = k & \qquad ji = -k \\ jk = i & \qquad kj = -i \\ ki = j & \qquad ik = -j \end{align} La suma y la resta de cuaterniones se realiza término a término.

Observe que $\pm i, \pm j, \pm k$ no son las únicas raíces cuadradas de $-1$ : si $a=0$ y $b^2+c^2+d^2=1$ entonces el cuadrado de la expresión $(\mathbf A)$ arriba es $-1$ .

El uso de cuaterniones en física fue sustituido por el uso de vectores en $\mathbb R^3$ con los productos punto y cruz habituales, pero los cuaterniones se utilizan hoy en día en los gráficos por ordenador.

Los cuaterniones permiten ver fácilmente que el espacio de rotaciones de $\mathbb R^3$ que dejan el origen fijo no es simplemente conectado, como sigue. Primero hay que demostrar que el mapa $$ bi+cj+dk \mapsto (Pi + Qj +Rk)\Big(bi+cj+dk\Big)(Pi + Qj +Rk)^{-1} $$ es una rotación del $3$ -de cuaterniones "puros" ("puro" significa que la parte real $a$ es $0$ ). Entonces observamos que los dos cuaterniones $\pm(Pi + Qj +Rk)$ ambos representan la el mismo rotación. Esto significa que un camino en la esfera desde $Pi + Qj +Rk$ a $-(Pi + Qj +Rk)$ corresponde a una trayectoria en el espacio de las rotaciones, desde una rotación particular hasta ella misma, que no puede ser contraída a un punto.