Cada grupo de orden $60$ , teniendo un subgrupo normal de orden $2$ , tiene un subgrupo normal de orden $6$ (sin Sylow )?

Question

Cómo probar , sin el uso de Sylow de teoremas , que todo grupo de orden $60$ , teniendo un subgrupo normal de orden $2$ , contiene un subgrupo normal de orden $6$ ? Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

HECHO 1: Grupo de orden $15$ es cíclico. [sin Sylow teoría]

Por el teorema de Cauchy, $G$ contiene un subgrupo $H$ orden $5$; si $H_1$ es otro subgrupo de orden $5$$|HH_1|=|H|.|H_1|/|H\cap H_1|=5.5/1>|G|$, contradicción. Así subgrupo de orden $5$ es único, por lo tanto normal. Deje $K$ ser un subgrupo de orden $3$.

Para cada $k\in K$, definir $\varphi_k\colon H\rightarrow H$, $\varphi_k(h)=khk^{-1}$, es un automorphism (desde $H$ es normal). Podemos ver que $\varphi_k\varphi_{k'}=\varphi_{kk'}$; por lo tanto $k\mapsto \varphi_k$ es un homomorphism de$K$$Aut(H)$.

Desde $K\cong \mathbb{Z}_3$$Aut(H)\cong \mathbb{Z}_4$, el homomorphism de $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_4$es trivial. Esto significa $\varphi_k=$de identidad para cada $k\in K$; esto significa, $khk^{-1}=h$ todos los $h\in H$ (e $k\in K$). Esto significa $H$ $K$ conmutar elementwise. Por lo tanto,$G=H\times K=\mathbb{Z}_5\times \mathbb{Z}_3$, que es cíclico.

HECHO 2: Cualquier grupo de orden $2m$ ($m$ impar) ha subgrupo normal de orden $m$.

Esto también es fácil de probar sin Sylow; usted puede probar (o, a continuación, busque el enlace).

Hacia su pregunta: Vamos a $N$ ser normal subgrupo de orden $2$. A continuación, $G/N$ es un grupo de orden $30=2.15$. Ahora $G/N$ ha subgrupo normal, decir $L/N$ orden $15$; debe ser cíclico, por lo que tiene único subgrupo de orden $3$, decir $H/N$. Así que hemos situación:

$H/N$ es único subgrupo de orden $3$$L/N$$L/N\trianglelefteq G/N$.

Ejercicio: Demostrar que $H/N$ es normal en $G/N$.

A continuación, $H$ es normal en $G$$|H|=|N|.|H/N|=2.3=6$.