La gráfica de una suave función real es un submanifold

Question

Dada una función de $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ que es lisa, muestran que $$\operatorname{graph}(f) = \{(x,f(x)) \in \mathbb{R}^{n+m} : x \in \mathbb{R}^n\}$$ es un buen submanifold de $\mathbb{R}^{n+m}$.

Honestamente estoy completamente seguro de dónde o cómo empezar este problema. Estoy interesado en las definiciones y quizás sugerencias que pueden conducir a mí en la dirección correcta.

Answer 1

Esta es una aplicación del Teorema de la Función Implícita. Tiene una función de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ y de construir el gráfico dado por: $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m : y = f(x) \}.$ permítanme definir un nuevo mapa, dicen, $G : \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^m$ $G : (x,y) \mapsto y-f(x).$ he definido esta la forma en que han de modo que la gráfica de $f$ es el cero nivel de $G$, es decir, la gráfica de $f$ es el conjunto de $(x,y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ tal que $G(x,y) = 0.$

En la brutal detalle de este mapa es realmente:

$$G : (x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m) \mapsto (y_1-f_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,y_m-f_m(x_1,\ldots,x_n)) \, .$$

Tenemos que calcular la Matriz Jacobiana de $G$. Un cálculo rápido nos mostrarán que:

$$ J_G = \left[\begin{array}{c|c} -J_f & I_m \end{array}\right] ,$$

donde $J_f$ $m \times n$ matriz Jacobiana de $f$ $I_m$ $m \times m$ matriz identidad. La matriz $J_G$ $m \times (m+n)$ matriz.

Ser capaz de aplicar el IFT, tenemos que mostrar que $0$ es un valor regular de $G$. (Después de todo, la gráfica de $f$$G^{-1}(0).$) podemos hacer esto mostrando que ninguno de los puntos críticos se envían a 0 $G$. Observe que $G$ no tiene puntos críticos debido a $J_G$ siempre tiene la máxima rango, es decir,$m$. Esto es claramente cierto, ya que la matriz de identidad $I_m$ rango $m$.

De ello se desprende que la gráfica de $f$ es un buen, parametrizable $(n+m)-m=n$ dimensiones del colector en una vecindad de cada uno de sus puntos.

Answer 2

El mapa de $\mathbb R^n\mapsto \mathbb R^{n+m}$ $t\mapsto (t, f(t))$ tiene la matriz de Jacobi $\begin{pmatrix}I_n\\f'(t)\end{pmatrix}$, que tiene un completo rango de $n$ todos los $t$ (a causa de la identidad de la submatriz). Esto significa que su rango de valores es de un colector. No hay nada claro acerca de esto?

¿Cómo es esto una prueba de que es un colector?

Un colector de rango $n$ es establecer $X$ que para cada una de las $x\in X$ existe un entorno $H_x\subset X$ tal que $H_x$ es isomorfo a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$. En este caso, el conjunto de la $X=graph(f)$ es isomophic a $\mathbb R^n$. La definición de un colector es diferente, a menudo es necesario para que el isomophism a ser diffeomophism, que es el mismo que aquí.

Piénsalo de esta manera: Un colector $X$ de la fila $2$ es algo, en que: cuando alguien hace un punto por un lápiz, puedo cortar un pedazo de $X$ y decirle a esa persona: "a Ver, mi pieza es casi como un pedazo de papel, es solo un poco de curvas.

La definición de colector pareciera strage aquí, porque aquí se puede tomar el barrio como en el conjunto de $X$. Este no es siempre el caso: Una esfera es un colector así, sino toda una esfera no es isomorfo a $\mathbb R^2$, usted tiene que tomar sólo algunos de corte fuera de él.