En $z^4+2z^2+z=0$ ¿tienen raíces complejas?

Question

En $z^4+2z^2+z=0$ ¿tienen raíces complejas? ¿Cómo encontrarlas? Además de $z=0$ Tengo la ecuación $re^{3i\theta}+2re^{i\theta}=e^{i(\pi+2k\pi)}$ , $k\in \mathbb Z$ . ¿Cómo encontrar las raíces complejas?

Answer 1

Suficiente para comprobar el discriminante de $ax^3+bx^2+cx+d=0$ : $$\Delta_3=-27 a^2 d^2+18 a b c d-4 a c^3-4 b^3 d+b^2 c^2$$ $$\Delta_3=\begin{cases} >0 & \text{3 distinct real roots}\\ <0 & \text{1 real, 2 conjugate complex roots}\\ =0 & \text{3 real roots with duplicates}\\ \end{cases}$$ En su caso, es $a=1$ , $b=0$ , $c=2$ y $d=1$ Así que $\Delta_3=-59$ por lo que la ecuación tiene una raíz real y dos complejas conjugadas, siendo las 3 distintas. En cuanto a la búsqueda de las propias raíces, la fórmula de Cardano ayuda mira esto . El resultado final es: $$x_1=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{177}-9\right)}}{3^{2/3}}-2 \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{177}-9\right)}}$$ $$x_2=\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{177}-9\right)}}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{177}-9\right)}}{2\ 3^{2/3}}$$ $$x_3=\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{177}-9\right)}}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{177}-9\right)}}{2\ 3^{2/3}}$$

Answer 2

Según Wolfy, las raíces son $0, ?-0.453397651516404, ?0.22669882575820 \pm 1.46771150871022 i$ así que la respuesta es sí.

Otra forma de ver esto es que si $f(z) = z^4+2z^2+z$ , entonces $f'(z) = 4z^3+4z+1$ y $f''(z) = 12z^2+4 \gt 0$ así que $f(z)$ puede tener como máximo dos raíces reales.

Desde $f(0) = 0$ y $f'(0)=1 \ne 0$ , $f(z)$ tiene exactamente dos raíces reales por lo que tiene dos raíces complejas (conjugadas) ya que todos sus coeficientes son reales.