En $z^4+2z^2+z=0$ ¿tienen raíces complejas? ¿Cómo encontrarlas? Además de $z=0$ Tengo la ecuación $re^{3i\theta}+2re^{i\theta}=e^{i(\pi+2k\pi)}$ , $k\in \mathbb Z$ . ¿Cómo encontrar las raíces complejas?
Suficiente para comprobar el discriminante de $ax^3+bx^2+cx+d=0$ : $$ \Delta_3=-27 a^2 d^2+18 a b c d-4 a c^3-4 b^3 d+b^2 c^2 $$ $$ \Delta_3=\begin{cases} >0 & \text{3 distinct real roots}\\ <0 & \text{1 real, 2 conjugate complex roots}\\ =0 & \text{3 real roots with duplicates}\\ \end{cases} $$ En su caso, es $a=1$ , $b=0$ , $c=2$ y $d=1$ Así que $\Delta_3=-59$ por lo que la ecuación tiene una raíz real y dos complejas conjugadas, siendo las 3 distintas. En cuanto a la búsqueda de las propias raíces, la fórmula de Cardano ayuda mira esto . El resultado final es: $$ x_1=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{177}-9\right)}}{3^{2/3}}-2 \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{177}-9\right)}} $$ $$ x_2=\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{177}-9\right)}}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{177}-9\right)}}{2\ 3^{2/3}} $$ $$ x_3=\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{177}-9\right)}}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{177}-9\right)}}{2\ 3^{2/3}} $$
Según Wolfy, las raíces son $0, ?-0.453397651516404, ?0.22669882575820 \pm 1.46771150871022 i $ así que la respuesta es sí.
Otra forma de ver esto es que si $f(z) = z^4+2z^2+z$ , entonces $f'(z) = 4z^3+4z+1 $ y $f''(z) = 12z^2+4 \gt 0 $ así que $f(z)$ puede tener como máximo dos raíces reales.
Desde $f(0) = 0$ y $f'(0)=1 \ne 0$ , $f(z)$ tiene exactamente dos raíces reales por lo que tiene dos raíces complejas (conjugadas) ya que todos sus coeficientes son reales.
Demostré que tiene dos raíces reales y dos complejas. Esto responde exactamente a la pregunta. ¿No has leído mi última frase?
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Por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces en $\mathbb{C}$ . Sin embargo, en cuanto a encontrar el tuyo, no estoy seguro.
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El polinomio es $zP$ donde $P = z^3+2z+1$ . Desde $\frac{dP}{dz} = 3z^2 + 2$ es positivo para todos los $z$ se deduce que $P$ es una función creciente y sólo puede tener una raíz real.
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La respuesta de Theophile es, con mucho, la mejor aquí. Obsérvese que podemos obtener aún más mediante una rápida aplicación del Teorema de Rouche, que nos dice que cada raíz debe ser el disco $|z| \le 2$ (ya que en el círculo de radio dos, $|2z^2 + z| \le 2|z|^2 + |z| = 10 and $ |z^4| = 16,$ concluimos que las cuatro raíces se encuentran en el disco.