El estudio de la derivada de la integral de la función $\frac{1}{x}\int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t$

Question

Yo estaba tratando de calcular la derivada de la función $$ F(x) =\frac{1}{x}\int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t $$ Pensé que la manera más rápida era utilizar la regla de Leibniz para la derivada de un producto, $$ (f\cdot g)' = f'g + g'f $$ y, eligiendo como $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = \int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t$, aplicando para el segundo, derivado del teorema fundamental del cálculo, he obtenido $$ -\frac{1}{x^2}\int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t + \frac{1}{x}\left[\arctan(e^t)\right]\Bigg|_{t = 0}^{t = x} = -\frac{1}{x^2}\int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t + \frac{1}{x}\left[\arctan(e^x)-\frac{\pi}{4}\right] $$ Ahora vienen los problemas, ya que no sé cómo evaluar el límite de $x\rightarrow0$ para el primer término de la expresión, mientras que el segundo, como $x\rightarrow0$, $g'(x)f(x)\rightarrow\frac{1}{2}$. Así que he trazado la cosa entera y vi algo muy extraño:

La de azul es la función (que es la derecha), la roja es la derivada como se calculó antes. Como se puede notar se parece a la derivada tiene una discontinuidad en el punto 0, mientras que mirando la gráfica de la función $F(x)$, uno podría decir que no hay tal discontinuidad. Traté de evaluar el conjunto de la cosa con Mathematica, pero yo no se soluciona el problema: hay cosas extrañas que suceden en el origen.

Ahora, hay dos posibilidades:

1. La derivada es malo, pero me pregunto de donde, como es tan simple y lineal
2. Grapher aplicación de Mac OS X no se puede manejar con las funciones de una manera adecuada

Se puede encontrar el bug?

Answer 1

Con su anotación $$ g(x)=\int_0^x\arctan(e^t)\,dt $$ tenemos $$ F'(x)=\frac{xg'(x) - g(x)}{x^2}=\frac{x\arctan(e^x)-g(x)}{x^2} $$ para $x\ne0$. Por otro lado, la función de $F$ puede ser extendido por la continuidad en $0$ $$ \lim_{x\to0}F(x)=\frac{\pi}{4} $$ y $$ \lim_{x\to0}F'(x)= \lim_{x\to0}\frac{1}{2x}\frac{xe^x}{1+e^{2x}}=\frac{1}{4} $$ por lo $F$ (extendido) es también diferenciable en a $0$.

He utilizado l'Hôpital para ambos límites.

El error en el argumento es que el mal hacer $$ \frac{d}{dx} g(x) = \Bigl[ \arctan(e^t)\Bigr]_{t=0}^{t=x} $$ en lugar de $$ \frac{d}{dx}g (x) =\arctan(e^x) $$ de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo.

Answer 2

Así que el "error" fue en la aplicación de la foundamental teorema de cálculo en la que no aparece la derivada calculada en el punto de partida, de modo que el derecho derivado es $$ -\frac{1}{x^2}\int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t + \frac{1}{x}\left[\arctan(e^t)\right]\Bigg|_{t = 0}^{t = x} = -\frac{1}{x^2}\int_0^x\arctan(e^t)\mathrm{d}t + \frac{1}{x}\left[\arctan(e^x)\right] $$

que es el rojo de la función en el siguiente gráfico