Ejemplo fácil de por qué los números complejos son geniales

Question

Busco un ejemplo explicable para alguien que sólo sepa matemáticas de bachillerato de por qué son necesarios los números complejos. El mejor ejemplo debería poder explicarse de forma rigurosa y también ser claramente importante en un sentido cotidiano.

Por ejemplo, la transformada compleja de Laplace tiene aplicaciones en la fijación de precios de las opciones en las finanzas matemáticas, lo cual es algo fácil de vender como importante, pero imposible de explicar los detalles.
Es fácil decirlo: ¡Entonces podemos generalizar la raíz cuadrada! - pero es más difícil argumentar por qué eso supone alguna diferencia en el mundo real.

La pregunta ha editado la expresión "cool" y la ha sustituido por una descripción para que deje de ser una opinión. Espero que ayude :)

Answer 1

Utilizando $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ es muy fácil encontrar (y recordar) muchas identidades trigonométricas.

Por ejemplo, $e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha}e^{i\beta}$ da las fórmulas del seno de la suma y del coseno de la suma.

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$$ \begin{align} e^{i(\alpha+\beta)} &= e^{i\alpha}e^{i\beta} \\ \cos(\alpha+\beta) + i \sin(\alpha+\beta) &= (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta) \\ &= (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \\ \end{align} $$

Equiparar las partes reales,

$$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$

Igualando las partes imaginarias,

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

Answer 2

Aquí hay un realmente genial aplicación: Diferenciación de pasos complejos

La idea básica es que normalmente se calcula una derivada como:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Para ello es necesario evaluar $f$ dos veces. Pero, ¿y si utilizamos números complejos?

$$f'(x) \approx \frac{f(x+ih)-f(x)}{ih}\approx \frac{\Im{f(x+ih)}}{ih} $$

Ahora sólo tenemos que evaluar $f$ una vez !* ( $\Im(z)$ es sólo la parte imaginaria de $z$ .)
No sólo eso, sino que es un lote También es más preciso desde el punto de vista numérico: véase el enlace anterior.

_{* Esto supone que la función es de valor real para entradas reales, y analítica. En la práctica suele serlo.}

Answer 3

Los números complejos son necesario para que las fórmulas de Cardano funcionen en todos los casos de la ecuación de tercer grado: $x^3+px+q=0$ . Configurar $\Delta=4p^3+27q^2$ la(s) raíz(es), si la(s) hay, viene(n) dada(s) por

$$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\Biggl(-q -\sqrt{\frac{\Delta}{27}}\Biggr)}+ \sqrt[3]{\frac{1}{2}\Biggl(-q +\sqrt{\frac{\Delta}{27}}\Biggr)}. $$

Ahora bien, esta fórmula funciona bien cuando hay 1 o 2 raíces (reales), porque es el caso cuando $\Delta \geq 0$ . Sin embargo, el caso de 3 raíces reales corresponde al caso $\Delta <0$ y, por lo tanto, para utilizar la fórmula, es necesario utilizar raíces cuadradas de números negativos.

El ejemplo más sencillo es la ecuación $x^3-7x+6=0$ que tiene 3 raíces evidentes: 1, 2 y -3.

Answer 4

Las soluciones a $x^n=1$ son $n$ puntos uniformemente espaciados alrededor del círculo unitario.

Por ejemplo, los 5 valores de $x$ que satisfagan $x^5=1$ se encuentran en los puntos

(Imagen de Wikipedia .)

Resultados como éste son los que motivan y justifican la representación bidimensional de los números complejos mediante el plano complejo.

Answer 5

Compara la resolución de un circuito eléctrico de corriente alterna con condensadores e inductores con cantidades complejas con cualquier otro método.

La generalización de la resistencia a la impedancia hace que todo el cálculo se limite a barajar unos cuantos números (que pueden tener o no un significado intuitivo), en comparación con hacer esencialmente lo mismo mediante, por ejemplo, métodos gráficos.