Pregunta del Grupo Fundamental Funky

Question

Deje $D$ ser un disco cerrado (w/ límite de $C$) y vamos a $D_a$, $D_b$ dos cerrados disjuntos discos en el interior de $D$ (w/ límites de $C_a$$C_b$, resp.) . Ahora quite los interiores de $D_a$$D_b$, e identificar los puntos en $C_a$ que son 90 grados de distancia, los puntos en $C_b$ que son 120 grados de separación, y los puntos en $C$ que son 180 grados de separación (antipodal de identificación).

¿Cuál es el grupo fundamental de este espacio resultante?

Sé que el grupo fundamental sólo depende de la 2-esqueleto, y que si tengo por ejemplo un círculo y yo adjuntar una 2-celda a través de un mapa de grado $m$, a continuación, voy a terminar con un 2-complejo w/ grupo fundamental de la $\mathbb{Z_m}$. Y si puedo adjuntar otro de 2 células a través de un mapa de grado $n$, a continuación, voy a terminar con un 2-complejo w/ grupo fundamental de la $\mathbb{Z_{(m,n)}}$. Estoy teniendo problemas con la aplicación de este o un tipo similar de razonamiento aquí, aunque...

Answer 1

Otra forma de ver esto es empezar con la cuña de la suma de los tres círculos, cada uno representando uno de $C$, $C_a$, $C_b$. Deje $\pi_1(S^1 \vee S^1 \vee S^1) = \langle x, y, z \rangle$, la libre grupo de tres generadores. El espacio que se tiene de los resultados de esta cuña suma adjuntando una $2$de células a lo largo de $x^2y^3z^4$. Por lo tanto, el grupo fundamental del espacio dado es $$ \langle x, y, z \mid x^2y^3z^4 \rangle. $$

Por supuesto, usted todavía puede solicitar Van Kampen. Se le dará el mismo resultado siempre que la manija de la inclusión del mapa de la derecha. Cuando el generador del grupo fundamental de la intersección es asignado a cada subespacio, es asignado a múltiplos de los generadores de acuerdo a la identificación.

Answer 2

No debería ser difícil calcularlo con el teorema de Van-Kampen: considere un disco abierto que incluya$D_a \cup D_b$ y el complemento de un disco más pequeño que aún contenga$D_a \cup D_b$.