¿La localización viaja con límites directos e inversos

Question

Deje que $A$ ser un anillo y dejar $M_n$ ser $A$ -módulos. Para un ideal de primera $P$ en $A$ ¿Es cierto que $$( \varprojlim_n M_n)_P= \varprojlim_n (M_n)_P \text { and } ( \varinjlim_n M_n)_P= \varinjlim_n (M_n)_P?$$

Si no es cierto, ¿hay condiciones en $A$ y $M$ que lo hacen cierto?

Answer 1

Si $A$ es un anillo conmutativo y $S \subseteq A$ es un subconjunto, entonces la localización $M \mapsto S^{-1} M$ proporciona un functor $\mathsf{Mod}(A) \to \mathsf{Mod}(S^{-1} A)$ que es adjunto izquierdo al functor olvido. En particular, preserva todos los colímites. El functor olvidadizo $\mathsf{Mod}(S^{-1} A) \to \mathsf{Mod}(A)$ también conserva todos los colímites (lo mismo ocurre con $\mathsf{Mod}(B) \to \mathsf{Mod}(A)$ para cada $A$ -álgebra $B$ ), de hecho son creados por el functor olvidadizo a $\mathsf{Ab}$ . Así que, en particular, la localización como un functor $\mathsf{Mod}(A) \to \mathsf{Mod}(A)$ conserva todos los colímites.

La localización también conmuta con límites finitos, porque $S^{-1} A$ es un plano $A$ -álgebra. Pero normalmente no conmuta con límites infinitos. Por ejemplo, el homomorfismo canónico $(\prod_{i \in I} \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \to \prod_{i \in I} \mathbb{Q}$ no es suryectiva cuando $I$ es infinito. La imagen consiste en aquellas secuencias de números racionales cuyos denominadores pueden ser acotados.