Mostrar

Question

Supongamos que $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ $n-1$ veces derivable en a $[a,b]$. Si $f^{(n)}(x_0)$ existe, a continuación, para cada $x\in[a,b]$, $$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o(x-x_0)$$

---

Nota el al $n=1$ cada $x\in[a,b]$ que es igual a $f'(x_0)$ donde $x_0\in[a,b]$. Para $n>1$, nos vamos a $$r_n(x)=f(x)-\left(f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\right)$$ where $r_n(x)$ has $n$ times derivatives, then $r(x_0)=r'(x_0)=\cdots=r_n^{(n)}(x_0)=0$. By the definition of $n$ derivatives, $$r_n^{(n-1)}(x)=r_n^{(n-1)}(x)-r_n^{(n-1)}(x_0)=r_n^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$$ Hence $r_n^{(n-1)}(x)=o(x-x_0)$.

---

Alguien puede darme una pista o sugerencia para seguir o empezar un mejor nueva prueba? Estoy atascado en este paso y no veo cómo conseguir más. Gracias y Feliz Navidad.

Answer 1

Comenzamos con la identidad, \begin{equation} f(b) - f(a) = \int_a^b f^\prime(t)dt \end {equation} Para integrarla sucesivamente por partes, introduzca las funciones$\phi_i(t)$,$i \ge 0$ un entero, de manera que$\phi_0(t) = 1$ y$\phi_i^\prime(t) = \phi_{i - 1}(t)$ . Además, insistimos en que$\phi_i(b) = 0$ para todos$i \ge 1$. Vemos fácilmente que las funciones$\phi_i$ son solo polinomios, \begin{equation} \frac{(t - b)^i}{i!} \end {equation}

Podemos escribir la primera ecuación como \begin{equation} f(b) - f(a) = \int_a^b \phi_0(t)f^\prime(t)dt = \int_a^b \phi_1^\prime(t)f^\prime(t)dt \end {equation} Integración por partes, \begin{eqnarray} f(b) - f(a) &=& f^\prime(t)\phi_1(t)\Big|_a^b - \int_a^b\phi_1 f^{\prime\prime}(t)dt \\ &=& f^\prime(b)\phi_1(b) - f^\prime(a)\phi_1(a) - \int_a^b\phi_1 f^{\prime\prime}(t)dt \\ &=& 0 - f^\prime(a)(a - b) - \int_a^b\phi_1 f^{\prime\prime}(t)dt \\ &=& (b - a)f^\prime(a - b) - \int_a^b\phi_1 f^{\prime\prime}(t)dt \end {eqnarray} Integre el segundo término de arriba para obtener, \begin{equation} f(b) - f(a) = (b - a)f^\prime(a - b) + \frac{(b - a)^2}{2!}f^{\prime\prime}(a) + \int_a^b\phi_2 f^{\prime\prime\prime}(t)dt \end {equation} Repita el proceso$n$ de veces para obtener el formulario que desea.