Feynman sale del lagrangiano

Question

En consecuencia, el capítulo 10, sección 10.6 Reglas de Feynman de "Introducción a Partículas Elementales" por David Griffiths, hay una forma de extraer el vértice y propagadores simplemente por inspección de la de Lagrange:

1) Propagadores: tomar de Euler-Lagrange las ecuaciones de los campos libres y la inversa de los operadores en el impulso espacio que actúan sobre los campos son los propagadores de cada uno.

2) Vértice: tome la interacción de Lagrange y se multiplica por $i$. Hacer uso de la receta $i\partial_\mu \rightarrow k_\mu$ y borrar los campos. El resto es el vértice.

Mis preguntas son:

a) Si quiero calcular el vértice de la interacción de Lagrange ${\cal L}_{int} = g\varphi\partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$ (todos los campos escalares), por la regla 2) llego ${\rm vertex} = -igk_1k_2$. Sin embargo, al parecer la solución es $-2ig(k_1k_2 + k_1k_3 + k_2k_3)$. ¿De dónde estos factores extras que salen?

b) Si yo tuviera una interacción similar como en a) , pero el cambio de un campo para una nueva $\chi$ (escalares), por lo ${\cal L}_{int} = g\chi \partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$, sería la solución se $-2igk_1k_2$ con $k_i$ el momenta de $\varphi$ campos?

c) Este libro le otorga a usted que para QCD, con ${\cal L}_{int}^{3\ fields} = g\{[\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu]·(A_\mu \times A_\nu) + (A^\mu \times A^\nu)·[\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu]\}$, usted puede obtener los 3 campos de vértice conocido como ${\rm vertex} = -gf^{\alpha \beta \gamma}[g_{\mu \nu}(k_1 - k_2)_\lambda + g_{\nu \lambda}(k_2 - k_3)_\mu + g_{\lambda \mu}(k_3 - k_1)_\nu]$. He tratado de conseguir a partir de la regla 2), pero yo no era capaz.

Answer 1

No entiendo cómo aplicar estas reglas, cuando la interacción contiene derivados. Si usted no está seguro de que usted puede ir por el camino largo. Si no sabes cómo hacerlo, aquí está cómo hacerlo:

Se trata de evaluar (por ejemplo, para la $g\phi \partial_\mu \phi \partial^{\mu} \phi$ interacción) el $\mathcal{O}(g)$ verdes funciones de $G(x_1,x_2,x_3)$ 3 externos escalar partículas, por ejemplo, mediante el uso de mechas teorema, y ver cuál es el vértice de la regla. En la posición del espacio de obtener 6 términos de la forma: $-ig\int d^4x D(x_1-x) (\partial_\mu D)(x_2-x) (\partial^\mu D)(x_3-x)$. A continuación, considere el impulso espacio greensfunction $\tilde{G}(k_1,k_2,k_3) = \int d^4x_1 \int d^4x_2 \int d^4x_3 G(x_1,x_2,x_3) e^{-ik_1x_1}e^{-ik_2x_2}e^{-ik_3x_3}$ (convención habitual es que todos los impulsos que entra, es decir, $e^{-ikx}$). Esto le da la $g k_2 k_3$ plazo. Cuando usted haga esto para todos los otros contracciones consigue $3$ no la igualdad de las contribuciones y $2$ cada uno del total $6$ son iguales (por lo tanto el factor de $2$).

Cuando usted tiene diferentes campos escalares que funciona casi de la misma, solo considerar las contracciones entre los mismos tipos de campos escalares.

La QCD caso también es el mismo, sin embargo, todos los $6$ no son iguales, debido a que tiene un espacio adicional de tiempo y el índice de color. Por lo tanto, obtener el $6$ términos.