Tengo la siguiente ecuación:$$(a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2) = z^2+1$$ with $ a, b, c, d, z \ in \ mathbb {N} $
Entonces, ¿cómo puedo demostrar que:$z = ac+bd$?
Probé la identidad de Brahmagupta pero no parece funcionar ...
Respuestas
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Joe Gauterin
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La afirmación es falsa. Contra-ejemplo: $$ (9 ^ 2 +7 ^ 2) (4 ^ 2 +1 ^ 2) = 2210 = 47 ^ 2 + 1 \ quad \ text {pero} \ quad 47 \ ne \begin{cases} 43 &= 9\cdot 4 + 7\cdot 1\\ 37 &= 9\cdot 1 + 7\cdot 4 \end { casos} $$
Tenga en cuenta que$47$ es el valor más pequeño de$z$ donde$z^2+1$ contiene tres factores primos distintos de la forma$4k+1$. Esto permite que uno exprese uno de$a^2+b^2$ o$c^2+d^2$ como la suma de dos cuadrados en más de una forma. Como ejemplo, el primer factor anterior tiene las siguientes dos representaciones:$$9^2 + 7^2 = 11^2+3^2$ $ y$11\cdot 4 + 3\cdot 1$ son iguales a$47$.
jonathan hall
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