$|G|=p(p+1)$ para$p$ prime, luego$G$ tiene un subgrupo normal de orden$p$ o$p+1$

Question

Estoy tratando de resolver la pregunta de arriba, como una aplicación del teorema de Sylow. Deje $P$ ser el p-subgrupo de Sylow. A continuación,$n_p | (p+1)$$n_p \equiv 1 \pmod{p}$. Si $n_p =1$, $P$ es normal y ya está, otra cosa $n_p = p+1$. Ahora,

\begin{equation} 1+n_p(p-1) = 1 + (p+1)(p-1) = p^2, \end{equation} es el número total de elementos en los p-subgrupos de Sylow. Así que si $n_p = p+1$, lo que significa que el número de elementos no en cualquier p-subgrupo de Sylow es $|G|-p^2=p$. Si estas $p$ elementos y la identidad forman un subgrupo, a continuación, un subgrupo de los más pequeños de primer índice, por lo que se hacen.

Pero, ¿cómo puedo demostrar que todos los elementos no en los p-subgrupos de Sylow forman un subgrupo, es decir, el subgrupo generado por estos elementos tiene trivial intersección con la a $p-$subgrupos de Sylow?

Answer 1

Voy a ampliar mi comentario en una respuesta.

Deje $S$ ser el conjunto de elementos que no se encuentran en cualquier Sylow $p$-subgrupo de $G$. Se han demostrado por un recuento argumento de que $|S|=p$. Deje $q$ ser cualquier prime que divide $p+1$.A continuación, $S$ debe contener algún elemento $g$ orden $q$.

Desde $n_p=p+1$,$N_G(P) = P$, lo $g \not\in N_G(P)$. Deje $x$ ser un generador de $P$. A continuación, los poderes $x,x^2,\ldots, x^{p-1}$ $x$ genera todos los $P$, por lo que ninguno de ellos puede centralizar $g$. Por lo tanto el $p$ elementos $\{ g, g^x,g^{x^2}, \ldots, g^{x^{p-1}} \}$ (donde$g^h$$hgh^{-1}$) son todas diferentes. Ya que todos ellos tienen el fin de $q$, todos ellos se encuentran en $S$, y por lo $S = \{ g, g^x,g^{x^2}, \ldots, g^{x^{p-1}} \}$.

Así que cada elemento de a $S$ orden $q$, y, por tanto, $q$ debe ser el único primer dividiendo $p+1$, lo $p+1$ es una potencia de $q$, e $S \cup \{ 1 \}$ debe ser el único Sylow $q$-subgrupo de $G$.

Answer 2

Puede aplicar el teorema del complemento p de Burnside, ya que$P=C_G(P)=N_G(P)$,$P$ tiene un complemento normal$N$. Entonces$G=PN$ y$P \cap N =1$ y por lo tanto$|N|=p+1$.