Todos los ideales principales de$\mathbf{R}[x,y]$ y$\mathbf{C}[x, y]$.

Question

¿Cuáles son todos los ideales principales de$\mathbf{R}[x,y]$ y$\mathbf{C}[x, y]$? (Además, ¿cómo prueba que los ha encontrado todos?) Estoy tratando de entender qué son los$\mathbf{R}$ - algebraico vs$\mathbf{C}$ - subconjuntos algebraicos de$\mathbf{C}^2$, definidos como los ceros (en$\mathbf{C}^2$) de un ideal en$\mathbf{R}[x, y]$ y$\mathbf{C}[x,y]$, respectivamente.

Edición: no estoy tan familiarizado con la teoría de las dimensiones, así que prefiero ver un argumento que no se base en él.

Answer 1

Aquí hay una respuesta para$\mathbf C[x,y]$: Hilbert's Nullstellensatz , afirma que los ideales máximos tienen la forma$(x-\alpha,y-\beta)$ para algunos$\;\alpha, \beta\in \mathbf C$.

Por otro lado,$\mathbf C[x,y]$ es una UFD de (Krull) dimensión$2$. Así que los ideales primarios de altura$1$ son los principales, generados por polinomios irreducibles .

Agregue a esta lista el único ideal de altura$0$, y habrá terminado.