¿Cómo veo que el mapa$$(x_1, \dots, x_n) \mapsto x_1 \wedge \dots \wedge x_n$$from $ V_n (\ mathbb {R} ^ m)$ to the exterior power $ \ wedge ^ n (\ mathbb {R} ^ m)$ gives rise to a smooth embedding of $ G_n (\ mathbb {R} ^ m)$ in the projective space $$G_1(\wedge^n(\mathbb{R}^m)) \cong \mathbb{P}^{\binom{m}{n} - 1}?$ $
Respuesta
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Thomas
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Si $V\subset \bf R^n$ $n$ dimensiones subespacio, si $e_1,...e_n$ $f_1,...f_n$ son dos bases de $D.e_1 \wedge e_2....\wedge e_n= f_1 \wedge f_2....\wedge f_n \not =0$ donde $D\in \bf R$ es un factor determinante de la lineal mapa que envían $e_i$$f_i$. En particular, estos multivectors tienen la misma imagen en la projectif espacio de $P(\wedge ^n(\bf R^m))$. Tenemos un mapa de la Grassmanian a la projectif espacio.Para comprobar que este mapa es inyectiva, tenga en cuenta que $x\in Vect (e_1,...e_n)$ fib $x\wedge e_1 \wedge e_2....\wedge e_n=0$. Para la suavidad, completar la base de $e_1,..e_n$ como base de $\bf R^m$, $e_1,...e_m$ Recordemos que lineal mapa de $\bf R^n\to \bf R^{m-n}$ forma de un gráfico de todo el punto de $\bf R^n$ como sigue : el lineal mapa de $l$ uno asociar el espacio vectorial $c(l)$ generado por $e_i+l(e_i)$. En este gráfico, el mapa de elevación a un mapa de $L(\bf R^n,\bf R^{m-n})$ a $\wedge ^n\bf R^m$ $l\to (e_1+l(e_1))\wedge (e_2+l(e_2))...\wedge( e_n+l(e_n))$ cual es el polinomio en el coeficiente de $l$ visto como una matriz.
