(Ciertos) colimit y producto en categoría de espacios topológicos.

Question

Considere el diagrama de

$$(*):\;\;\;X_0 \stackrel{i_0}\hookrightarrow X_1 \stackrel{i_1}\hookrightarrow X_2 \stackrel{i_2}\hookrightarrow \cdots $$

en la categoría de espacios topológicos. Denotar $I$ la unidad de intervalo de $[0,1]$ con el estándar de la topología.

Luego también tenemos

$$(*)\times I:\;\;\;X_0\times I \stackrel{i_0\times 1_I}\hookrightarrow X_1 \times I \stackrel{i_1\times 1_I}\hookrightarrow X_2 \times I \hookrightarrow \cdots $$

y colimits de los dos diagramas, que son básicamente $$\mathrm{colim}(*)=\left(\coprod_{n =0}^\infty X_n\right)/{\sim}, \;\;\; x \sim i_j(x), \; j \in \mathbb{N}, \; x \in X_j,$$ $$\mathrm{colim}((*)\times I)=\left(\coprod_{n =0}^\infty X_n \times I\right)/{\sim}, \;\;\; (x,t) \sim (i_j(x),t), \; j \in \mathbb{N}, \; x \in X_j, t \in I.$$

(Pregunta 0: ¿es correcto esto?)

Estoy interesado en el mapa de $$f:(\operatorname{colim}(*))\times I \rightarrow \mathrm{colim}((*)\times I)$$ se define como $([x],t)\mapsto [(x,t)]$ donde $[-]$ denota tomar las clases de equivalencia con respecto a lo que se considera equivalencias. Obviamente está correctamente definido como un mapa.

Pregunta 1: ¿este mapa continuo? Es decir, son los dos objetos homeomórficos? (Creo que uno puede obtener la matriz inversa de mapa de $f^{-1}$ el uso de la característica universal de $\mathrm{colim}((*)\times I)$, por lo tanto $f^{-1}$ es continua).

Tengo más información acerca de los mapas de $i_j$. Por ejemplo, están cerrados los mapas.

Esta es una parte de la tarea, así que agradecería sugerencias en lugar de la respuesta completa.

(Tal vez algunos de contexto y motivación: Mi objetivo es definir una homotopy $F:\mathrm{colim}(*))\times I \rightarrow \mathrm{colim}(*)$ uso fácil de describir homotopies $F_n:X_n\times I \rightarrow X_{n+1}$, pero estos inducir "sólo" un mapa de $(\operatorname{colim }F_n): \operatorname{colim}((*)\times I) \rightarrow \operatorname{colim}(*)$, así que estoy tratando de cambiar el dominio de alguna manera - así que al final, solo tengo el mapa compuesto $(\operatorname{colim }F_n) \circ f$ a de ser continuo.)

Answer 1

Me preguntó muy similar pregunta hace algún tiempo. El hecho clave es la siguiente:

Deje $X,Y$ ser espacios topológicos. Supongamos $X$ viene con una equivalencia de la relación de $\mathcal{R}\subset X\times X$. Luego de la canónica mapa $$\frac{X\times Y}{\mathcal R\times \mathsf{1}}\longrightarrow \frac{X}{\mathcal{R}}\times Y,$$ es un continuo bijection (que puede no ser un homeomorphism). Sin embargo, si $Y$ es localmente compacto Hausdorff, entonces es un homeomorphism.

Aquí $\mathcal R\times \mathsf{1}$ designa la relación de equivalencia en $X\times Y$ cual $(x,y)\sim (x',y')$ fib $x\mathcal{R}x'$ $y=y'$ . La prueba de la continuidad es fácil, sigue inmediatamente el formulario de las propiedades universales de cociente de espacios y productos. Para rematar su pregunta, vamos a $X=\coprod_nX_n$, $Y=I$ y $\mathcal R$ la equivalencia en relación con la definición de la colimit de su primer diagrama. A continuación, el colimit de su segundo diagrama es el cociente del espacio de $X\times I$ (debido a $\left(\coprod_nX_n\right)\times I$ es canónicamente isomorfo a $\coprod_n\left(X_n\times I\right)$) por la relación de equivalencia $\mathcal R\times\mathsf{1}$. Los hechos del párrafo resaltado luego nos dicen que la comparación del mapa que define es un homeomorphism.

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Esto puede ser extendido. El hecho clave es que el functor $$-\times I:\mathbf{Top}\to\mathbf{Top}$$ tiene derecho adjoint $$\mathbf{Hom}(I,-):\mathbf{Top}\to\mathbf{Top}$$ donde $\mathbf{Hom}(I,-)$ envía un espacio de $X$ para el conjunto de todas continua mapas de $I\to X$ equipada con la compacta abierta de la topología. La unidad de intervalo de núcleo compacto (ser localmente compacto Hausdorff). Tener un derecho adjoint, el functor $-\times I$ viajes para todos los colimits, que es que hay isomorphisms en la parte Superior (en otras palabras, un homeomorphism) $$\mathrm{colim}_{\,\mathcal{I}}(F)\times I\to\mathrm{colim}_{\,\mathcal{I}}((-\times I)\circ F)$$ para cualquier pequeña diagrama de $F:\mathcal I\to\mathbf{Top}$.

Answer 2

Hay un mapa continuo natural $\varphi:\text{colim}(X_n×I)\to\text{colim}(X_n)\times I$ cuya existencia se indica en el siguiente diagrama

$$\begin{array}{ccc} \coprod(X_n×I) & → & \text{colim}(X_n×I) \\ \downarrow & & \downarrow\\ \left(\coprod X_n\right)×I & \xrightarrow{q×1} & \text{colim}(X_n)×I \end{array}$$ donde el vertical izquierdo del mapa es inducida por $X_n×I→\left(\coprod X_n\right)×I$. Es un ejercicio para demostrar que la izquierda mapa es una homeomorphism, así que no importa realmente si consideramos que algunos de los $(x,t)$ un elemento del primer o del segundo espacio. A continuación, $φ$ es inducida como un mapa continuo del cociente, porque si dos puntos de $(x,t)$ $(y,s)$ son identificados a través de la generación de relaciones, a continuación,$s=t$$y=i_j(x)$, lo $[x]=[y]$. Esta $φ$ envía $[(x,t)]$ $([x],t)$y es fácil mostrar que $φ$ es bijective. Esto nos da la inversa de la $\psi$ que envían $([x],t)$$[(x,t)]$, pero no parece ser cualquier cosa, lo que sugiere la continuidad de la $ψ$.
El truco es mostrar que el mapa de $q×1$ es un cociente de mapa, ya que esto hará que la continua bijection $φ$ un homeomorphism. Hay dos pruebas de este hecho, uno de los más directos y primaria en la prueba, y otra prueba de que es más categórico y que involucra a más de diagramas y menos de la topología, pero ambos utilizan el hecho de que $I$ es localmente compacto en algún momento.