caracterizar los conjuntos que son de orden isomorfo a subconjuntos de números reales

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto ordenado. Decimos que es orden-isomorfo a otro conjunto totalmente ordenado $E$ siempre que exista una biyección $m:\Omega\to E$ satisfaciendo $x<y$ en $\Omega$ si y sólo si $m(x)<m(y)$ en $E$ .

Evidentemente, si $\Omega$ contiene una secuencia estrictamente monótona $(x_\alpha)_{\alpha\in\omega_1}$ (donde $\omega_1$ es el primer ordinal incontable) entonces no es isomorfo de orden a ningún subconjunto de $\mathbb{R}$ . Estaba pensando que lo contrario podría ser cierto. Es decir:

Pregunta 1. Si $\Omega$ es un conjunto totalmente ordenado que no contiene ninguna secuencia estrictamente monótona $(x_\alpha)_{\alpha\in\omega_1}$ es $\Omega$ de orden isomorfo a un subconjunto de $\mathbb{R}$ ?

Si es así, entonces eso nos da una caracterización de subconjuntos de $\mathbb{R}$ en términos de sus estructuras de orden. En términos más generales, me preguntaba lo siguiente.

Pregunta 2. ¿Existe alguna caracterización conocida de conjuntos totalmente ordenados que sean isomorfos de orden a subconjuntos de $\mathbb{R}$ ?

Gracias.

Answer 1

Bueno, considera $\Bbb R^2$ con la ordenación lexicográfica. Esto no es isomorfo a ningún subconjunto de $\Bbb R$ ya que se puede dividir en $2^{\aleph_0}$ intervalos no triviales.

Sin embargo, si $(x_\alpha,y_\alpha)$ es una familia de tamaño $\omega_1$ en $\Bbb R^2$ , entonces en al menos una de las coordenadas tiene que violar la monotonicidad.

En general, los números reales es el único orden lineal que es:

1. Completo.
2. Denso.
3. Separable.

Por lo tanto, significa que un orden lineal puede ser mapeado en $\Bbb R$ si y sólo si su terminación es separable. Lo cual se cumple, por la definición de terminación, si el ordenamiento lineal es separable.

Para ver por qué esto es así, elija un subconjunto contable que sea denso en el orden, entonces ese subconjunto contable es mapeado en los racionales, y por la completitud de $\Bbb R$ , ahora podemos realizar también el resto de la ordenación lineal.

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De la separabilidad se deduce que toda familia de intervalos abiertos disjuntos por pares es contable. Llamamos a esta propiedad la condición de cadena contable.

Suslin se preguntó en 1920 si se podía sustituir "separable" por "ccc" (aunque la terminología no se desarrolló hasta mucho después). Resultó que la respuesta es independiente de los axiomas habituales, es decir, ZFC. En otras palabras, es consistente que haya un espacio linealmente ordenado que sea completo, denso y ccc pero no separable, y es consistente que no haya ninguno.

Y ya que mencionamos las líneas Suslin, mencionemos también Líneas de Aronszajn . Que son órdenes lineales de tamaño $\aleph_1$ pero no contienen ningún subconjunto incontable que pueda incrustarse en los números reales, ni ninguna secuencia monótona incontable. La existencia de éstas, a diferencia de las líneas de Suslin, es demostrable desde ZFC.