Demuestra que la función$f(x)=x/(x^2-1)$ es biyectiva.

Question

Tengo que mostrar que la función de $f:(-1,1)\to \mathbb{R}$ $$f(x)=\frac{x}{x^2-1}$$ es bijective. Me han demostrado que es inyectiva, que es bastante simple. Voy a escribir aquí para referencia en el futuro.

Para mostrar que $f$ es inyectiva, vamos a $x_1,x_2\in(-1,1)$. Suponga que $f(x_1)=f(x_2)$. Entonces $$\frac{x_1}{x_1^2-1}=\frac{x_2}{x_2^2-1}$$ Multiplicando ambos lados por $(x_1^2-1)(x_2^2-1)$ que sabemos no puede ser $0$. En la simplificación de la ecuación más, obtenemos $$(x_1x_2+1)(x_2-x_1)=0$$ Esto significa que tanto las $x_2x_1=-1$ o $x_2=x_1$. No es posible que $x_2x_1=-1$ porque si fuera cierto, entonces $x_2=\cfrac{-1}{x_1}$ y para todos los valores de $x_1$ en el dominio, $x_2$ va a salir del dominio. Por lo tanto, debe ser que $x_2=x_1$. Esto concluye la parte de inyectividad.

Lo estoy confundido acerca de la surjectivity parte. Sé que se suele invertir la función y, a continuación, mostrar que para cualquier valor de $y$ en el codominio, existe un valor de $x$ en el dominio de la función tal que $f(x)=y$. Me parece que no puede invertir esta función adecuadamente. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Primer aviso que $$x=0\iff y=0.$ $

Luego para $|x|<1\land x\ne0$ , $$y=\frac x{x^2-1}\iff yx^2-x-y=0.$ $

El discriminante es estrictamente positivo por lo que hay dos raíces reales distintas. Y por Vieta, su producto es $-1$ , de modo que uno se encuentra en $(-1,1)$ y el otro no. De ahí que la función sea invertible.

Answer 2

Al usar la fórmula cuadrática, uno tiene $$f^{-1}(x)=\frac{1-\sqrt{4x^2+1}}{2x}$ $ para el rango dado de $x$ .

Answer 3

Supongamos $\;a\;$ es la función de la imagen. Vamos a averiguar las condiciones en este elemento: no existe $\;x\in\Bbb R\setminus\{-1,1\}\;$ s.t.:

$$\frac x{x^2-1}=a\implies ax^2-x-a=0\implies \text{this quadratic's equation discriminant is non-negative}:$$

$$\Delta=1+4a^2\implies \Delta\ge1>0\;\;\forall\,a\in\Bbb R$$

y ahora demostró su función es surjective...y usted no tiene que averiguar lo que la inversa es.

La última tarea: se puede demostrar ahora que el $\;x\;$ que resuelve el de arriba es en $\;(-1,1) \;$ , como debe ser?

Answer 4

Deje $y$ ser un número real no es igual a $0$. Deje $f(x)=x/y+1-x^{2}$. A continuación, $f(-1)=-1/y$ e $f(1)=1/y$. Por lo tanto, no existe $x$ entre $-1$ e $1$ con $f(x)=0$. Esto le da a $x/y+1=x^{2}$ o $y=f(x)$. Claramente, $0=f(0)$. Por lo tanto $f$ es surjective.

Answer 5

La función de $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$ es continua y estrictamente (monótona) la disminución en el $(-1,1)$: $$f'(x)=\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}<0$$ y: $$\lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty; \lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty.$$ Por lo tanto, $f(x)$ es surjective para $x\in(-1,1)$.

Aquí está el gráfico:

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