¿Cuál es la dimensión de$\Bbb Q[x]/\langle (x+1)^2 \rangle$ sobre$\Bbb Q$?

Question

¿Cuál es la dimensión de $\Bbb Q[x]/\langle (x+1)^2 \rangle$ sobre $\Bbb Q$ ?

Primero identificamos este anillo. Sé que $$\Bbb Q[x]/\langle (x-a)(x-b) \rangle \simeq \Bbb Q \times \Bbb Q$$ where $ a, b $ son distintos. ¿Pero cómo lidiar con este anillo?

¿Es $$\Bbb Q[x]/\langle (x+1)(x+1) \rangle \simeq \Bbb Q \times \Bbb Q$$ via the map $$f:\Bbb Q[x] \ni p(x) \longmapsto \Big(p(-1)+\langle(x+1)\rangle,p(-1)+\langle(x+1)\rangle\Big) \in \Bbb Q \times \Bbb Q$ $ y al usar el primer teorema de isomorfismo? ¿Alguna ayuda?

Answer 1

1. Deje $R=\mathbb{Q}[X]/I$ donde $I=\langle X^2+2X+1\rangle$. Observe que $$\overline{X}^2=-2\bar{X}-1$$ in $R$. This means that you can write any $\overline{X}^k$ as $\overline{X}+b$ with $a,b\in\mathbb{Q}$. Por lo $\dim (R)\leq 2$.

2. Probar ahora que $\{\overline{X}, \overline{1}\}$ es un conjunto linealmente independiente de más de $\mathbb{Q}$ (que es equivalente a decir que $I$ no contiene cualquier polinomio de grado menor que 2).

3. Combinar los hechos a la conclusión de $\dim (R)=2$.

Answer 2

Si $f$ es un polinomio de grado $d$ entonces $\Bbb Q[x]/\left<f(x)\right>$ tendrá la dimensión de $d$. A pesar de esto, $\Bbb Q[x]/\left<(x+1)^2\right> \no\cong \Bbb P\times\Bbb P$. For instance $\Bbb Q[x]/\left<(x+1)^2\right>$ tiene un valor distinto de cero nilpotent elemento, y $\Bbb Q\times\Bbb Q$ no. Alternativamente $\Bbb Q[x]/\left<(x+1)^2\right>$ tiene un no-trivial ideal, mientras que $ \Bbb Q\times\Bbb Q$ tiene dos. (No trivial aquí se excluye el cero ideal y todo el anillo.)

Answer 3

Para cualquier $p(x) \in \Bbb Q[x]$, definir $f(p) = \langle r(x) \rangle$, donde $p(x) = q(x)(x+1)^2 + r(x)$ e $\operatorname{deg}(r) \leq 1$. Si $(x+1)^2|(p_1-p_2)$, a continuación, $\exists h(x) \text{ with } p_1(x)-p_2(x)= (x+1)^2h(x)$, por lo que si $p_1(x) = q_1(x)(x+1)^2 + r(x)$, a continuación, $p_2(x) = p_1(x)-(x+1)^2h(x) = (x+1)^2(q_1(x)-h(x))+r(x)$ e $f$ está bien definido.

El cociente del espacio tiene divisores de cero ($x+1$ es nilpotent) por lo que no es un campo, pero todavía es un espacio vectorial bajo la suma y la multiplicación escalar por elementos de $\Bbb Q$. Demostrar que $f$ conserva la suma y la multiplicación escalar a ver que es un homomorphism. Demostrar que $\langle 1 \rangle \text{ and } \langle x \rangle$ son una base para el espacio cociente. Demostrar que $1 \in \Bbb Q[x] \text{ and } x \in \Bbb Q[x]$ mapa a base de eso.

Answer 4

El homomorphism $\mathbb{Q}[x]/((x+1)^2)\to \mathbb{Q}[y]/(y^2)$ definido por $x\mapsto y-1$ es un isomorfismo. (Una razón: el mapa de $\mathbb{Q}[x]\to \mathbb{Q}[y]/(y^2)$ se define de la misma manera ha $((x+1)^2)$ como su núcleo).

Por división, $\mathbb{Q}[y]/(y^2)$ está representado por los polinomios de la forma $a+by$. Si $a+by=0$ en este anillo para algunos $a,b\in\mathbb{Q}$, a continuación, $a+by=q(y)\,y^2$ en $\mathbb{Q}[y]$ para algún polinomio $q(y)$. Con sólo pensar en grados, $a=b=0$, lo $1$ e $y$ son independientes en $\mathbb{Q}[y]/(y^2)$.

Más de $\mathbb{R}$ en lugar de $\mathbb{Q}$, estos son llamados el doble de los números.

(Si este anillo de división como una suma directa, no sería un elemento idempotente $e$ con $e^2=e$ e $e\neq 0,1$. Si $e=a+by$, $e^2=a^2+2aby+b^2y^2=a^2+2aby$. A continuación, $a^2=a$ e $2ab=b$. Así que la única idempotents se $e=0,1$.)