Un problema en la composición de funciones.

Question

Deje que $f \colon A \to A$ sea una función tal que $f \circ f=f$ . Si $f$ es uno a uno, entonces demuestre que también está en $f$ .

Sé en mi cabeza que la función. $f$ es $f(x)=x$ , pero no puedo desarrollar una prueba para la declaración anterior.

Answer 1

Lo que me gusta acerca de este problema es que no impone ninguna restricción a la carinality $A$; su conclusión se une para algunos muy grandes conjuntos de hecho.

Supongamos $f$ no es surjective, y vamos a

$B = f(A) \tag 1$

ser la imagen de $A$ bajo $f$; desde

$f \circ f = f, \tag 2$

está claro que cada elemento de a$B$ se fija en virtud de $f$, para

$b \in B \Longrightarrow \exists c \in A, \; b = f(c) \Longrightarrow f(b) = f(f(c)) = f(c) = b; \tag 3$

además, para $c \in A$,

$f(c) = c \Longrightarrow c \in B; \tag 4$

por lo tanto $B$ es precisamente el conjunto de puntos fijos de $f$.

Hemos asumido $f$ no surjective; entonces por lo anterior hemos

$B \subsetneq A, \tag 5$

lo que implica

$\exists a \in A \setminus B; \tag 6$

si

$b = f(a) \in B, \tag 7$

entonces

$f(b) = f(f(a)) = f(a) = b; \tag 8$

tomamos nota de

$B \ni b \ne a \in A \setminus B, \tag 9$

lo que se contradice con el dado hipótesis de que la $f$ es un inyectiva mapa. Por lo tanto $f$ es de hecho surjective.

Answer 2

Sabemos $f\circ f=f$ lo $f([f(x)]) =f (x)$.

La comparación de ambos lados, lo que muestra $[f (x)] = x$ (desde $f$ es uno-a-uno) así que para todos los $x$ en el codominio de $f$ hay un $x$ en el dominio tal que $f(x) = x$ .. por lo que es en.. yay...

veo a alguien votada abajo a la pregunta

si usted siente que es una pregunta tonta por favor, sabes que yo todavía estoy en la escuela el aprendizaje de relaciones y funciones ! :)

Answer 3

Deje $x \in A$. Deje $y=f(x).$ Entonces $f(y) = f(f(x)) = (f \circ f) (x) = f(x)$ $\implies y=x,$ si $f$ que se supone que es inyectiva. Así que si $f$ fue inyectiva, a continuación, $f(x)=x,$ para todos los $x \in A.$ Lo $f$ es el mapa de identidad en $A.$ Pero, a continuación, $f$ es claramente surjective, como se reivindica.

QED