Los conceptos geométricos normales, como paralelo, ángulo, área, triángulo, ¿se siguen aplicando en la banda de Mobius?
Si no, ¿en qué caso no lo harán?
Por ejemplo, ¿qué formarían tres líneas en una banda de Mobius? ¿Un triángulo si no es paralelo? o ¿podría ser totalmente otra cosa?
Lejos de los bordes, la geometría de una banda de Moebius es localmente euclidiana, por lo que se aplican los conceptos y teoremas habituales de la geometría. Las cuestiones relacionadas con los bordes no difieren cualitativamente de las que se plantean si se trata de hacer geometría en un disco en lugar de en un plano: las líneas no paralelas pueden seguir sin encontrarse porque se salen del borde.
En cambio, si se pudiera formar una superficie de un solo lado sin límites, como una botella de Klein, las cosas serían diferentes. Por un lado, la suma de los ángulos de un triángulo ya no es de 180 grados. Como no hay una forma obvia de tener una botella de Klein sin que algunos lugares estén más curvados que otros, esto se complica muy rápidamente, pero los conceptos no son muy diferentes de los de la geometría esférica o la geometría hiperbólica.
Como una sola línea en la banda de Mobius va en realidad a ambos lados del papel original, ¿3 líneas en la banda de Mobius formarán 2 triángulos?
A priori una franja de Mobius $S$ es una variedad topológica, tal vez con límites, dependiendo de cómo la definamos; para simplificar, supondré que no tiene límites.
Si uno dota $S$ con una métrica riemanniana $g$ ---Y hay muchas maneras de hacerlo, entonces se dispone de todas las características habituales de la geometría de Riemann. Esto incluye la medición de longitudes y ángulos entre vectores, la definición de geodésicas, las distancias entre puntos, la curvatura gaussiana, etc., y como es habitual, estas mediciones y construcciones dependen en gran medida de la elección de $g$ . Sin embargo, a diferencia de la mayoría de las superficies con las que trabajamos, $S$ es no orientable, por lo que una métrica no determina ni siquiera hasta una elección fija de signo una elección global de la forma de volumen en $S$ por lo que podemos definir el área (sin signo), integrando un Densidad riemanniana en lugar de una forma de volumen, pero no podemos definir un área firmada (globalmente consistente).
Una forma de realizar la banda de Mobius es como el cociente de $\tilde S := \Bbb R \times (-1, 1)$ por la acción $\Bbb Z \times \tilde S \to \tilde S$ definido por $n \cdot (x, y) := (x + n, (-1)^n y)$ . En particular, $\Bbb Z$ actúa por isometrías de la métrica euclidiana habitual sobre $\tilde S$ que, por tanto, desciende a una métrica (localmente) plana $\bar g$ en $S$ .
Localmente $(S, \bar g)$ se comporta como cualquier colector plano, es decir, como un trozo de espacio euclidiano. Sin embargo, esta métrica se comporta globalmente de forma peculiar. Por ejemplo, se pueden construir geodésicas con un número arbitrario de autointersecciones, lo que no ocurre en el espacio euclidiano (global) ni en la esfera (redonda). Algunas geodésicas se cierran, pero la mayoría no lo hacen. Si se define que dos geodésicas son paralelas si no se intersecan, entonces el postulado del paralelo falla en general: Dada una geodésica $\ell$ y un punto $P$ no en la línea, puede haber cero, un número finito o infinito de líneas que pasen por $P$ en paralelo a $\ell$ . Dependiendo de sus posiciones relativas, tres geodésicas pueden delimitar cero triángulos, uno o muchos.
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