Puede una sustitución de la causa convergente la integral definida a divergir?

Question

Es posible que una integral, $$\int_a^b f(x)\text{d}x,$$ to converge, but for some substitution $x=g(y)$ to cause the integral, $$ \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(y)) g'(y) \text{d}{y},$$ a divergir?

Supongo que esto podría suceder si $$f(g(y))g'(y)\longrightarrow\infty$$ as $y\longrightarrow g^{-1}(a)$ or $s\longrightarrow g^{-1}(b)$ ? Or, equivalently, if $$f(a)g'(g^{-1}(a))=\infty$$ or $$f(b)g'(g^{-1}(b))=\infty.$$

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Me pidió originalmente esta pregunta porque ciertas sustituciones apareció para hacer el integrando se convierten en "pathalogical" o volar hasta el infinito en ciertos puntos, por lo que a partir de un "área bajo la curva" punto de vista me pareció difícil ver cómo la convergencia podría persistir. Sin embargo, de hecho, dichas funciones pueden converger, por ejemplo, $ x^{-1/2} $ $[0,1] $

Answer 1

Considere el caso de un no intervalo cerrado.

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{a'\downarrow a, b'\uparrow b} \int_{a'}^{b'}f(x)dx$$ ans las integrales $$ \int_{a'}^{b'}f(x)dx $$are definite Riemann integrals (so $f$ is bounded on $[a',b']$).

Ahora hacer el cambio en las integrales definidas: $$ \int_{a'}^{b'}f(x)dx = \int_{g^{-1}(a')}^{g^{-1}(b')} f(g(y)) g'(y) {d}{y} $$ Estas integrales son bien definidos. Ahora, la primera integral convergente si el fib $$ \lim_ {'\downarrow a, b'\uparrow b} \int_{a'}^{b'}f(x)dx = \lim_ {'\downarrow a, b'\uparrow b} \int_{g^{-1}(a')}^{g^{-1}(b')} f(g(y)) g'(y) {d}{y} $$ exists. As $g^{-1}$ is continuous when $g\in C^1$, la expresión anterior se convierte en (asumiendo $g$ aumentando, de lo contrario sólo cambiar las desigualdades en consecuencia):

$$ \lim_{ga\downarrow g^{-1}(a), gb\uparrow g^{-1}(b)} \int_{ga}^{gb} f(gy)) g'(y) {d}{y} $$

lo que demuestra que una integral es convergente si el otro es.