Desde la primer función de recuento $\pi(x)$ es, al menos cuando se habla normalmente, una función discreta (es decir, que en general tienen $x$ un número entero, positivo), podemos pensar que la integral como una suma así.
En particular,
$$I(k) = \int_0^k \pi(x)dx = \sum_{n=0}^{k-1} \pi(n)$$
No vamos a tomar esto sin pruebas. No voy a entrar en el pleno rigor de la prueba - prefiero mirar un enfoque más intuitivo para derivar la relación.
Recuerdo el primer conteo de la definición de la función:
$$\pi(x) = \sum_{\text{primes} \; p \leq x } 1 = \text{the number of primes less than or equal to x}$$
Si fuéramos a la gráfica de esta función como si $x$ eran de un número real, nos gustaría que nos ven efectivamente lo que se ve casi como un gráfico de barras, haciendo un salto de una unidad cada vez que se $x$ es el primer como $x$ crece. La integral de $\pi(x)$ puede entonces ser considerada como el área bajo esta curva.
Bueno, ya $x$ no es un número primo si no es un entero, en el intervalo de $[n,n+1)$ para $n$ un entero, que siempre se puede estar seguro de que $\pi(x)$ es la constante de uno de los "bares" en el gráfico de barras de la analogía. El ancho de este intervalo es $1$ y su valor es $\pi(x)$ por lo que la integral sobre el intervalo es $1\cdot \pi(x) = \pi(x)$ - el área de una de las "barras".
Repetimos esta operación sobre cada intervalo de a $k$ - tomamos la integral sobre la $[0,1),$ sobre $[1,2)$, y así sucesivamente, hasta a $[k-1,k)$. Esto nos da la integral sobre la $[0,k)$ (que es efectivamente el mismo que el intervalo de más de $[0,k]$ desde un punto infinitesimal contribución a la integral cuando se piensa en el área analógica).
Pero, a continuación, esta construcción también mostró
$$\int_n^{n+1} \pi(x)dx = \pi(n)$$
así que en realidad
$$\int_0^1 \pi(x)dx = \pi(0) \;\;\; \int_1^2 \pi(x)dx = \pi(1) \;\;\; ... \;\;\; \int_{k-1}^k \pi(x)dx = \pi(k-1)$$
Por lo tanto, podemos sintetizar estas integrales y combinarlos, así como sus resultados, y obtener
$$\begin{align}
\int_0^1 \pi(x)dx + \int_1^2 \pi(x)dx + ... + \int_{k-1}^k \pi(x)dx &= \int_0^k \pi(x)dx \\
&= \sum_{n=0}^{k-1} \pi(n) \\
&= \pi(0) + \pi(1) + ... + \pi(k-1)
\end{align}$$
Y así,
$$\int_0^k \pi(x)dx = \sum_{n=0}^{k-1} \pi(n)$$
Si queremos ser pedantes, podemos también tenga en cuenta que $\pi(0) = \pi(1) = 0$ e indexar la suma de un poco para empezar a $n=2$:
$$\int_0^k \pi(x)dx = \sum_{n=2}^{k-1} \pi(n)$$
Así que, en conclusión, ¿cuál es la integral de la primer función de conteo en un intervalo de $[0,k]$, asumiendo $k$ es un número entero?
Es simplemente la suma de los valores de la primer función de conteo para los argumentos de $0,1,2,...,k-1$.
Por supuesto, este enfoque en la obtención de ese hecho también permite mirar un poco en los casos cuando el límite inferior es distinto de cero (y, posiblemente, no es un entero), y cuando el límite superior, demasiado, no es un número entero. Si de estas consideraciones se puede probar útil es más allá de mí.
Me pregunto por qué la integral de notación se usa en oposición a la suma, sin embargo. Pero eso sería tema de otra pregunta.
