Entendiendo mejor la variación cuadrática y el derivado fraccional.

Question

Estoy realmente no entiendo cuál es el significado de la derivada fraccional, ni donde se aplican en la naturaleza. Sin embargo, a menudo veo que formalmente por un movimiento Browniano, usamos la notación $dB_t=(dt)^{1/2}$.

• Q1) significa que, a pesar del hecho de que el movimiento Browniano no tiene derivados, tiene un $\frac{1}{2}-$derivado ?

• Q2) de forma Más general, yo sé que si $F$ se ha acotado variación, entonces es derivable en un.e. Así que si $f$ ha $p$-variación acotada (es decir, $$\lim_{n\to \infty }\sum_{a\leq t_0<t_1<...< t_n\leq b}|f(t_{i+1})-f(t_i)|^p<\infty,$$ pero no $q-$variación acotada para todos los $q<p$, tendría sentido decir que $df$ repreent la $\frac{1}{p}-$derivado de la $f$ ? (es decir, $df=(dt)^{\frac{1}{p}}$).

• Q3) ¿tiene usted un ejemplo de función que se ha quadric variación, pero no es de variación acotada en un conjunto compacto ? (en el caso determinista, es decir, no el movimiento Browniano).

Answer 1

Supongo que en la definición de una función de $f$ de delimitada $p$-variación debe ser la condición $$\sup \sum_{a\leq t_0<t_1<...< t_n\leq b}|f(t_{i+1})-f(t_i)|^p<\infty.$$ At least so is for $p=1$. Also $f(t_i)$ should be defined for each $t_i$ en la suma. A continuación voy a usar esta definición.

Ahora acerca de la Q3. Existe una función de $f$ continuo de $[0,1]$ tal manera que la variación de $f$ a $[0,1]$ es ilimitado [LYB, p.338]. Es decir, poner a $f(x)=x\cos\tfrac \pi{2x}$ para $0<x\le 1$ e $f(0)=0$. Dado un natural $n$, puesto $$(t_0,t_1,\dots, t_k)=(0, \tfrac 1{2n},\tfrac 1{2n-1},\dots,\tfrac 12,1).$$ , a Continuación,

$$\sum|f(t_{i+1})-f(t_i)|=1+\frac 12+\dots+\frac 1n\to\infty.$$

Por otro lado, me conjeturó que $2$-variación de $f$ a $[0,1]$ está acotada. Traté de probar esto, pero no encontré la manera fácil de hacer esto. Tal vez alguien va a encontrar para este u otro similar con la función de variación acotada.

Referencias

[LYB] I. Lyashko, V. Yemel'yanov, O. Boyarchuk, análisis Matemático, vol. 1, Kiev, Vyshcha shkola, 1992 (en ucraniano).