Una simple explicación teórica de la representación de esta fórmula determinante del Álgebra Lineal

Question

Deje que $A: \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^n$ ser un $ \mathbb {R}$ -mapa lineal. Si $1 \leq k \leq n$ consideramos

$ \bigwedge ^k A: \bigwedge ^k \mathbb {R}^n \to \bigwedge ^k \mathbb {R}^n $ .

¿Qué es un simple argumento teórico de representación que $ \det ( \bigwedge ^k A ) = \det (A)^ \binom {n-1}{k-1}$ ?

Creo que es una fórmula de Sylvester, si no recuerdo mal. ¿Podemos decir que tal vez el mapa $A \mapsto \det ( \bigwedge ^k A )$ es $GL(n)$ -invariante (y tal vez algo más) por lo que debe ser un poder de $ \det (A)$ ?

Sé que lo es. `` "elemental", pero me gustaría la proposición precisa, por favor.

Answer 1

En primer lugar, podemos centrarnos claramente en las matrices invertibles (si $A$ no es invertible, $ \bigwedge ^k A$ tampoco es para $k$ dentro de los límites dados, así que el determinante es $0$ ).

Entonces, para estos avisos que $f: A \mapsto \det ( \bigwedge ^k A)$ es un morfismo grupal continuo $GL_n( \mathbb {R}) \to \mathbb {R}^ \times $ en particular desde que $GL_n( \mathbb {R})' = SL_n( \mathbb {R})$ y $ \det $ realiza un isomorfismo (grupo topológico) $GL_n( \mathbb {R})/SL_n( \mathbb {R}) \to \mathbb {R}^ \times $ se deduce que $f$ factores a través del determinante.

Así que $f = g \circ \det $ por algún morfismo continuo $g : \mathbb {R}^ \times \to\mathbb {R}^ \times $ . Pero se puede comprobar fácilmente que las únicas morfologías continuas de este tipo son las de la forma $x \mapsto \epsilon (x)^i |x|^l$ para algunos $i \in \{0,1\}$ y $l$ un número real, donde $ \epsilon (x)$ denota el signo de $x$ es decir. $+/- 1$ .

Por lo tanto $f(A) = \epsilon ( \det (A))^i | \det (A)|^l$ para algunos $i,l$ como arriba. Ahora comprueba algunas matrices bien elegidas para encontrar lo que $i$ y $l$ son (si $f(A)<0$ para algunos $A$ , $ \epsilon = 1$ de lo contrario $ \epsilon = 0$ y luego $l$ debería seguir con la comprobación de una homotecia y la obtención de una potencia adecuada del factor)

No sé si esto es "representación-teórica"