Minimizar $\sum \frac{(-1)^{a_n}}{n!}$

Question

Dejemos que $a_n$ sea una secuencia de enteros positivos. Entonces quiero encontrar el mínimo valor posible de $$\Bigg|\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{a_n}}{n!}\Bigg|$$

Sé que el valor absoluto máximo es $e$ dado que todos los $a_n$ son Impares o pares, pero no estoy seguro de cómo abordar la minimización de la suma.

Answer 1

Podemos hacer que los dos primeros términos se anulen haciendo $a_0,a_1$ de paridades opuestas, digamos $a_0=1,a_1=2$ - sus magnitudes son ambas 1. Pero la magnitud del $n=2$ es mayor que la suma de las magnitudes de todos los demás términos. De ello se deduce que la magnitud mínima $m$ de la suma total se consigue fijando todos los términos después de $n=2$ sea de signo contrario al de la $n=2$ término (es decir $a_2$ es de paridad opuesta a $a_3,a_4,\dots$ ), con $$m=\frac12-\sum_{n=3}^\infty\frac1{n!}=3-e$$ Una posible $(a_n)$ lograr esto $m$ sería $1,2,3,4,6,8,10,12,\dots$