¿Interpretación geométrica de la segunda identidad de Bianchi?

Question

Suponiendo una torsión libre símbolo de Christoffel, la derivada covariante puede ser demostrado para satisfacer la segunda (diferencial) Bianchi identidad:

\begin{equation} [[\nabla_a,\nabla_b],\nabla_c]+[[\nabla_c,\nabla_a],\nabla_b]+[[\nabla_b,\nabla_c],\nabla_a]=0 \end{equation}

Pregunta: ¿hay una buena interpretación geométrica de esta identidad?

Una de mis motivaciones para esta pregunta es de que esta condición puede ser interpretado como una declaración de que el co-variante derivados forma una Mentira álgebra (donde el álgebra de producto dada por el colector). Por lo tanto una interpretación geométrica de la segunda identidad de Bianchi puede motivar por qué la identidad de Jacobi es natural/fundamental.

Answer 1

Resumen índice de expresiones pueden ser difíciles de interpretar geométricamente, y en general puede ser fácilmente malinterpretado. Por ejemplo, si dejamos caer las torsiones de la asunción, el colector de covariante derivados aplicada a un vector de rendimientos de la curvatura y la torsión

$$[\nabla_{a},\nabla_{b}]w^{c}=R^{c}{}_{dab}w^{d}-T^{d}{}_{ab}\nabla_{d}w^{c},$$

mientras que aplicado a una función que en lugar de obtener de torsión

$$[\nabla_{a},\nabla_{b}]f=-T^{c}{}_{ab}\nabla_{c}f.$$

Podemos más fácilmente interpretar geométricamente las cosas si expresamos la segunda identidad de Bianchi

$$\nabla_{u}\check{R}(v,w)\vec{a}+\nabla_{v}\check{R}(w,u)\vec{a}+\nabla_{w}\check{R}(u,v)\vec{a}=0,$$

donde $\check{R}$ es un tensor con valores de 2-forma (de tipo $(1,1)$), y la derivada covariante actúa sobre este tensor de valor antes de ser aplicados para el vector $\vec{a}$.

Para construir una imagen de lo que esto significa, podemos aprovechar el hecho de que $\check{R}(v,w)$ es un tensor, y por lo tanto $\check{R}(v,w)\vec{a}$ sólo depende del valor local de $\vec{a}$. Decidimos construir su local vector de valores de campo para la igualdad de su transporte paralelo, por ejemplo, $\vec{a}\left|_{p+\varepsilon u}\right.=\parallel_{\varepsilon u}(\vec{a}\left|_{p}\right.)$. A continuación, utilizando la definición de la derivada covariante en términos de que el transporte paralelo, hemos

$$\begin{aligned}\varepsilon\nabla_{u}\check{R}(v,w)\vec{a} & =\check{R}(v\left|_{p+\varepsilon u}\right.,w\left|_{p+\varepsilon u}\right.)\vec{a}\left|_{p+\varepsilon u}\right.-\parallel_{\varepsilon u}\check{R}(v,w)\parallel_{\varepsilon u}^{-1}\vec{a}\left|_{p+\varepsilon u}\right.\\ & =\check{R}(v\left|_{p+\varepsilon u}\right.,w\left|_{p+\varepsilon u}\right.)\parallel_{\varepsilon u}\vec{a}-\parallel_{\varepsilon u}\check{R}(v,w)\vec{a}. \end{aligned}$$

El primer término paralelo transporta $\vec{a}$ a lo largo de $\varepsilon u$ y, a continuación, alrededor del paralelogramo definido por $v$ e $w$ a $p+\varepsilon u$, mientras que el segundo paralelo transporta $\vec{a}$ alrededor del paralelogramo definido por $v$ e $w$ a $p$, luego a lo largo de $\varepsilon u$. Así construimos un cubo de campos vectoriales $u$, $v$, e $w$, y encontrar que la segunda identidad de Bianchi refleja el hecho de que $\nabla_{u}\check{R}(v,w)\vec{a}+\nabla_{v}\check{R}(w,u)\vec{a}+\nabla_{w}\check{R}(u,v)\vec{a}$ paralelo transporta $\vec{a}$ a lo largo de cada borde del cubo de un número igual de veces en direcciones opuestas, por lo tanto la cancelación de los cambios.

Anteriormente, podemos ver que $\vec{a}$ es paralelo transportados a lo largo de cada borde del cubo de los tres vectores de campo de los argumentos de un número igual de veces en direcciones opuestas, por lo tanto la cancelación de los cambios. Aquí $\varepsilon\nabla_{u}\check{R}(v,w)\vec{a}=\check{R}(v\left|_{p+\varepsilon u}\right.,w\left|_{p+\varepsilon u}\right.)\parallel_{\varepsilon u}\vec{a}-\parallel_{\varepsilon u}\check{R}(v,w)\vec{a}$ es resaltado por la negrita flechas que representan el camino por el que $\vec{a}$ es paralelo transportados en el primer término, y por el resto de los oscuros flechas que representan el camino por el que $\vec{a}$ es paralelo transportados en el segundo término.

Tan geométricamente, la segunda identidad de Bianchi puede ser visto como un reflejo de la misma "límite de los límites" idea como la de $d^2=0$ cuando se considera el exterior derivada de una 2-forma.

Una descripción más detallada de este enfoque y algo inusual en la notación se puede encontrar aquí.

Answer 2

En un aparte con Adán Marsh respuesta, si uno utiliza el Cartan-Chern enfoque con una forma de conexión $\omega$, de la curvatura de la forma $\Omega=d\omega+\omega\wedge^\cdot\omega=d\omega+\frac{1}{2}[\omega\wedge\omega]$ y covariante exterior derivado $d_\omega$, la segunda identidad de Bianchi toma la forma $d_\omega\Omega=0$. La escritura de este explícito da $$ d_\omega\Omega=d\Omega+[\omega\wedge\Omega]=d\Omega+\omega\wedge^\cdot\Omega-\Omega\wedge^\cdot\omega \\ =d\Omega+\omega\wedge^\cdot d\omega+\omega\wedge^\cdot\omega\wedge^\cdot\omega-d\omega\wedge^\cdot\omega-\omega\wedge^\cdot\omega\wedge^\cdot\omega \\ =dd\omega+d\omega\wedge^\cdot\omega-\omega\wedge^\cdot d\omega+\omega\wedge^\cdot d\omega-d\omega\wedge^\cdot\omega=dd\omega=0, $$

así nos encontramos con que la segunda identidad de Bianchi es , literalmente, el $dd=0$ identidad de formas diferenciales.