Este es un apartado muy amplio, así que sólo puedo mencionar algunos de los puntos de partida, y me voy en su mayoría sólo hablar de la especial lineales grupos, $$SL(n, \Bbb F) := \{A \in GL(n, \Bbb F) : \det A = 1\} .$$
Otros grupos especiales, p. ej., $SO(n, \Bbb R)$ e $SU(n, \Bbb R)$, son las intersecciones de un adecuado grupo de padres y el especial lineal de grupo en el campo apropiado, por ejemplo, $$SO(n, \Bbb R) = O(n, \Bbb R) \cap SL(n, \Bbb R) ,$$ y así heredar algunas de las características de ambos grupos. Más a menudo puede ser, en particular, de los casos.
Para cualquier campo $\Bbb F$ el grupo $SL(1, \Bbb F)$ es trivial, por el camino, por lo que su comportamiento es excepcional entre los especiales lineal de los grupos. Para facilitar la exposición de ahora en adelante nos vamos a tomar $n > 1$. Estoy feliz, por el camino, para dar sugerencias para leer más sobre alguno de estos temas, si le interesa.
La geometría en Primer lugar, el grupo $SL(n, \Bbb R)$ actúa transitivamente sobre $\Bbb R^n - \{ 0 \}$, por lo que la única propiedad de un vector en $\Bbb R^n$ conservan bajo la acción de $SL(n, \Bbb R)$ es si el vector es cero o no. (Todo que en su mayoría se refieren a la real especial lineal de grupo, pero la mayoría de lo que se dice aquí se aplica igual de bien a la especial lineal de los grupos de más de algunos/todos los otros campos).
Por otro lado, la acción de la $GL(n, \Bbb R)$ a $\Bbb R^n$ induce una acción en el espacio de elementos de volumen $\bigwedge^n \Bbb R^n$---este espacio vectorial es $1$-dimensional y así la linealidad implica que esta acción está dada por
$$A \cdot \omega = (\det A) \omega .$$
Así, $SL(n, \Bbb R)$ consiste, precisamente, de las transformaciones lineales que preservan la forma de volumen, o, de manera equivalente, ambos (unsigned) el volumen y la orientación en $\Bbb R^n$. (Así, por ejemplo, la especial ortogonal grupo $SO(n, \Bbb R) = O(n, \Bbb R) \cap SL(n, \Bbb R)$ consta de transformaciones lineales que preservan un producto interior en $\Bbb R^n$ y una elección de la orientación, estos dos objetos de determinar una forma de volumen que es lo que también se conserva.)
Así como la definición de la ortogonales grupo caracteriza a la geometría Euclidiana---es decir, de la geometría en $\Bbb R$ bajo transformaciones de la preservación de las longitudes (y por lo tanto los ángulos)---el grupo lineal que caracteriza la geometría en $\Bbb R$ bajo transformaciones de la preservación de una forma de volumen. Esto se llama equi-afín a la geometría, y desde $O(n, \Bbb R) \lneq SL(n, \Bbb R) \lneq GL(n, \Bbb R)$, un equi-afín a la estructura contiene estrictamente más información de la que una estructura afín (en el que sólo la incidencia es conservado---esto corresponde a $GL(n, \Bbb R)$), pero estrictamente menos información que ortogonal (Euclidiana) de la estructura.
Como alternativa, debido a $SL(n + 1, \Bbb R)$ actúa de forma lineal, y transitivamente en $\Bbb R^{n + 1} - \{ 0 \}$, que desciende a una acción en el real proyectiva del espacio $\Bbb R P^n := \Bbb P(\Bbb R^{n + 1} - \{ 0 \})$. Desde $SL(n + 1, \Bbb R)$ mapas de $k$-aviones a $k$-planos (en particular para $k = 2$, esta acción conserva las líneas, que son precisamente los unparameterized geodesics de la canónica ("flat") proyectiva estructura en $\Bbb R P^n$. Por lo visto, proyectiva del espacio, equipado con el proyectiva líneas, sirve como un modelo para proyectiva (diferencial) de la geometría de la misma manera que el espacio Euclidiano sirve como un modelo para la geometría de Riemann. Construcciones similares dan lugar a modelos de otros más exóticos, pero que sigue siendo interesante, estructuras geométricas, se dio cuenta de como $SL(n + 1, \Bbb R)$-espacios homogéneos.
Álgebra resulta que $SL(n, \Bbb R)$ es exactamente el colector subgrupo $\langle \{ A B A^{-1} B^{-1} : A, B \in GL(n, \Bbb R) \} \rangle$ de $GL(n, \Bbb R)$. Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que la Mentira álgebra $\mathfrak{sl}(n, \Bbb R)$ de $SL(n, \Bbb R)$ es simple: Su única ideales son el álgebra de la Mentira a sí mismo y $\{0\}$. (De hecho, $SL(n, \Bbb F)$ es casi simple: Su centro es $Z := Z(SL(n, \Bbb F)) = \{\zeta I_n : \zeta \in \Bbb F, \zeta^n = 1\}$, y el cociente $PSL(n, \Bbb F) = SL(n, \Bbb F) / Z$ es simple, a excepción de algunos casos, más de un pequeño finito campos). La simplicidad tiene muchas consecuencias (véase la siguiente sección).
Dado que el determinante de a$A$ es el producto de los valores propios de a$A$, por el camino, la restricción en el espectro de $(\lambda_a)$ de $A \in SL(n, \Bbb F)$ es, precisamente, $\lambda_1 \cdots \lambda_n = 1$, pero esto no impone ninguna restricción en un único autovalor $\lambda_a$ más allá de $\lambda_a \neq 0$.
Teoría de la representación , El hecho de que $\mathfrak{sl}(n, \Bbb R)$ es simple pone a disposición de la teoría bien desarrollada de las representaciones de la (semi)simple de Lie y álgebras de Lie grupos, a los que se aplica igual de bien a los demás grupos que mencionas, $O(n, \Bbb R), SO(n, \Bbb R), SU(n)$, así como a los demás. En algunas maneras, $SL(n, \Bbb C)$ es el más sencillo de la familia de Lie semisimple grupos de entender y por lo que se hace para un natural primer ejemplo cuando el aprendizaje de nuevos conceptos en el tema. Esto le da, entre muchos otros resultados, una descripción completa de todas las representaciones (tanto en el grupo y álgebra configuración), y completa reducibilidad de todas las representaciones, es decir, todos los $\mathfrak{sl}(n, \Bbb C)$-representación puede ser descompuesto esencialmente de forma única como suma directa de representaciones irreducibles. (Esta teoría puede ser bootstrap para recuperar la teoría de la representación de $GL(n, \Bbb C)$, que es similar a la representación de la especial lineal de grupo, pero hay algunas diferencias clave: Por ejemplo, desde el especial lineales grupo conserva una forma de volumen en $\Bbb C^n$, contracción con que el volumen de forma define un isomorfismo natural $\Bbb C^n \cong \bigwedge^{n - 1} (\Bbb C^n)^*$, pero el grupo lineal general conserva ninguna de esa forma de volumen, por lo $\Bbb C^n$ y $\bigwedge^{n - 1} (\Bbb C^n)^*$ son no equivalentes como $GL(n, \Bbb C)$-representaciones).
