¿Existe un mapa continuo, abierto y suryente desde $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ para $m>n$ ?

Question

Mi pregunta es la de arriba. Aquí están mis enfoques hasta ahora:

Sé que no existe ningún homeomorfismo entre un conjunto abierto de $\mathbb R^n$ y un conjunto abierto de $\mathbb R^m$ . Por lo tanto, si existe un conjunto abierto en el que $f$ es inyectiva obtenemos una contradicción.
Además, como $f$ es sobreyectiva, existen inversos de la derecha de $f$ . Si existiera un inverso de la derecha continuo, también obtendríamos una contradicción ya que este inverso de la derecha sería una inyección continua de $\mathbb R^m$ a $\mathbb R^n$ que no puede existir por Borsuk-Ulam.

Lamentablemente, no he podido utilizar uno de estos dos enfoques para dar una respuesta a mi pregunta.

Si la respuesta es afirmativa, también me interesaría contar con hipótesis más sólidas sobre $f$ para que la respuesta sea no. Me pregunto si la continuidad uniforme hace el trabajo, ya que para la continuidad Hoelder y lo suficientemente grande $m$ la respuesta es no, incluso si dejamos de lado la apertura de $f$ (Esto se puede demostrar utilizando la dimensión de Hausdorff y cómo los mapas continuos de Hoelder los preservan).

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Teorema 1. Por cada $n> m\ge 3$ existe un mapeo abierto continuo $f: R^m\to R^n$ .

Prueba. Daré una prueba que es una variación de mi respuesta a esta pregunta .

El resultado clave es un teorema bastante no trivial debido a John Walsh (él demostró algo más fuerte, yo estoy exponiendo un caso especial):

Teorema 2. Fijar $n, m\ge 3$ . Entonces, para cualquier par de variedades compactas trianguladas conectadas (posiblemente con límite) $M, N$ de las dimensiones $m, n$ respectivamente, todo mapa continuo $g: M\to N$ mapa suryectivo inductor de grupos fundamentales $\pi_1(M)\to \pi_1(N)$ es homotópico a un mapa continuo abierto suryente $h: M\to N$ .

Véase el corolario 3.7.2 de

J. Walsh, Monotone and open mappings on manifolds. I. Trans. Amer. Math. Soc. 209 (1975), 419-432.

Este teorema profundo es una generalización de resultados anteriores sobre la existencia de mapas abiertos continuos de aumento de dimensión de $m$ -a las variedades compactas trianguladas debido a Keldysh y Wilson.

La siguiente parte de la prueba utiliza algo de topología algebraica básica tratada, por ejemplo, en "Algebraic Topology" de Hatcher.

Toma $N=T^n$ El $n$ -toro de dimensiones ( $n$ -producto doble de círculos). Su grupo fundamental es ${\mathbb Z}^n$ . Dejemos que $S$ sea una superficie orientada compacta y conectada de género $n$ . Su grupo fundamental admite un mapa suryectivo a ${\mathbb Z}^{2n}$ (dada por la abelianización) y, por tanto, a ${\mathbb Z}^{n}$ . Consideremos el colector $M$ que es el producto $S\times T^{m-2}$ . Su grupo fundamental admite un epimorfismo a ${\mathbb Z}^{n}$ . Los espacios de cobertura universal de las variedades $M$ y $N$ son homeomórficos a ${\mathbb R}^m$ y ${\mathbb R}^n$ respectivamente.

Dado que el colector $N$ es $K( {\mathbb Z}^n, 1)$ el teorema de Whitehead implica que el epimorfismo $$\pi_1(M)\to \pi_1(N)$$ es inducido por un mapa continuo $g: M\to N$ . Aplicando el teorema de Walsh, obtenemos que $g$ es homotópico a un mapa abierto $h: M\to N$ . Levantando $h$ a los espacios de cobertura universal obtenemos un mapa abierto continuo $\tilde{h}: {\mathbb R}^m\to {\mathbb R}^n$ . Afirmo que $\tilde{h}$ es un mapa suryectivo. En efecto, el mapa $h$ es sobreyectiva (ya que en caso contrario la imagen $h(M)$ es un subconjunto propio cerrado y abierto de $N$ conectividad contradictoria de $N$ ). Dado que el mapa $\tilde{h}$ es equivariante con respecto a las acciones de los grupos fundamentales de $M, N$ en los respectivos espacios de cobertura universal, la imagen $\tilde{h}({\mathbb R}^m)$ es invariante bajo el grupo de cobertura $\Gamma$ de la cobertura universal ${\mathbb R}^n\to T^n$ . Por lo tanto, la subjetividad de $h$ implica la subjetividad de $\tilde{h}$ .

De ello se desprende el teorema 1. qed