Hallazgo .

Question

PS

Utilizando $$M:=x\left(\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2}{x}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor \frac{k}{x}\right\rfloor\right),\, k \in \mathbb N.$ ,

PS

Como $\lfloor y \rfloor=y-\{y\}$ , el coeficiente de $$M=x\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{i}{x}-\left\{\frac{i}{x}\right\}\right)=\frac{k(k+1)}{2}-x \sum_{i=1}^{k}\left\{\frac{i}{x}\right\}$ es finito y, por lo tanto, $0\leq\{y\}<1$ $

¿Es esto correcto?

Answer 1

Tu prueba es correcta. Aquí hay otra forma de calcular este límite.
Tenga en cuenta que $\frac{i}{x}-1 < \left \lfloor \frac{i}{x} \right \rfloor \le \frac{i}{x}$ , $\forall i=\overline{1,k}$ .
Por lo tanto, $\frac{k(k+1)}{2x} -k < \left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{2}{x} \right \rfloor +...+ \left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor \le \frac{k(k+1)}{2x}$ .
Por lo tanto, $\frac{k(k+1)}{2} -kx < x\left(\left \lfloor \frac{1}{x} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{2}{x} \right \rfloor +...+ \left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor \right) \le \frac{k(k+1)}{2}$ .
Por el teorema de compresión obtenemos que su límite es igual a $\frac{k(k+1)}{2}$ como lo demostró.

Answer 2

Otra forma es, porque $x$ se aproxima $0^+$, es decir, se hace muy pequeña y es positiva, $\exists n\in \mathbb{N}$ s.t. $n\leq \frac{1}{x}<n+1$ o $n=\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ entonces $\forall i\in\mathbb{N}$: $$i\cdot n \leq \frac{i}{x}<i\cdot(n+1) \Rightarrow i\cdot n \leq \left\lfloor \frac{i}{x} \right\rfloor<i\cdot(n+1) \tag{1}$$ y $$n\left(\sum\limits_{i=1}^k i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^k\left\lfloor \frac{i}{x} \right\rfloor <(n+1)\left(\sum\limits_{i=1}^k i\right) \ffi \\ n\cdot \frac{k(k+1)}{2}\leq\sum\limits_{i=1}^k\left\lfloor \frac{i}{x} \right\rfloor <(n+1)\cdot \frac{k(k+1)}{2} \etiqueta{2}$$ pero $n\leq \frac{1}{x}<n+1 \Rightarrow \frac{1}{n}\geq x \geq \frac{1}{n+1}$ y $(2)$ se convierte en $$ \frac{n}{n+1}\cdot \frac{k(k+1)}{2} < x\cdot n\cdot \frac{k(k+1)}{2}\leq \\ x\left(\sum\limits_{i=1}^k\left\lfloor \frac{i}{x} \right\rfloor\right) < \\ x\cdot(n+1)\cdot \frac{k(k+1)}{2} \leq \frac{(n+1)}{n}\cdot \frac{k(k+1)}{2}$$ o $$\frac{n}{n+1}\cdot \frac{k(k+1)}{2} < x\left(\sum\limits_{i=1}^k\left\lfloor \frac{i}{x} \right\rfloor\right) < \frac{(n+1)}{n}\cdot \frac{k(k+1)}{2} \etiqueta{3}$$ Ahora, $\lim\limits_{x\rightarrow0^+} \equiv \lim\limits_{n\rightarrow\infty}$ y el resultado se sigue de $(3)$.