Encontrar un error usando Mayer-Vietoris

Question

Yo era de la computación de la homología de $S^3-\coprod_{i=1}^4 I_i$, donde $I_i=[0,1]$ para todos los $i$ (que se identifican con una incrustación de objetos). Intuitivamente, esto se debe homotopy equivalente a $S^1$, ya que la eliminación de uno de los intervalos se da algo homotópica a $\mathbb{R}^3$, eliminación de uno le da un espace homotópica a $S^2$, la eliminación de la tercera resulta en algo homotópica a $\mathbb{R}^2$ y, finalmente, el último que termina con un espacio homotópica a $S^1$. Por lo tanto, $H_2(S^3-\coprod_{i=1}^4 I_i)=0$.

Pero en otros cálculos, esto me causó algunos problemas, así que me decido a hacerlo formalmente el uso de Mayer-Vietoris. Yo ya había calculado $H_*(S^3-I\sqcup I)$, me da un resultado consistente con la intuición anterior, es decir, $H_2(S^3-I\sqcup I)=\mathbb{Z}$.

Ahora me descomponen $S^3=(S^3-\coprod_{i=1}^2 I_i)\cup (S^3-\coprod_{i=3}^4 I_i)$. De Mayer-Vietoris, hay una breve secuencia exacta

$$0\to H_3(S^3)\to H_2(S^3-\coprod_{i=1}^4 I_i)\to H_2(S^3-I_1\sqcup I_2)\oplus H_2(S^3-I_3\sqcup I_4)\to 0$$

Desde mis cálculos esto sería

$0\to\mathbb{Z}\to H_2(S^3-\coprod_{i=1}^4 I_i)\to \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\to 0$

Pero, a continuación, $H_2(S^3-\coprod_{i=1}^4 I_i)\neq 0$, lo cual es incompatible con mi primer razonamiento. ¿Dónde está el error?

Answer 1

Según su argumento al principio, la eliminación de cuatro puntos de una esfera doble debería producir algo que sea homotopía equivalente a una esfera cero. Esto obviamente no es verdad. Tu error es que después de obtener un espacio homotópico en $S^2$ , procedes como si fuera en realidad homeomorfo a $S^2$ .