¿Son dos subespacios invariantes generados por dos vectores propios generalizados linealmente independientes linealmente independientes?

Question

Yo estoy aprendiendo ahora la forma normal de Jordan en álgebra lineal o álgebra abstracta. $C$ es el número complejo conjunto. Deje $A\in M_n(C)$ con el espectro,$\sigma(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k\}$, y con el subespacios invariantes $V_{\lambda_{i}}$. La definición de $V_{\lambda_i}$ es: $$V_{\lambda_{i}}:=\{x\in C^n|(A-\lambda_iI)^n x=0\}$$ . Entonces es un teorema que para cualquier $x\in V_{\lambda_{i}}$ ser generalizada eigen vector de orden $p$($p$ es un entero positivo, de hecho), es decir, un $x$ tal que $(A-\lambda_iI)^px=0$ $(A-\lambda_iI)^{p-1}x\neq0$ $$x, (A-\lambda_iI)x,...,(A-\lambda_iI)^{p-1}x$$ abarca un subespacio invariante y por encima de todos los vectores son linealmente independientes. Mi pregunta es que: si hay dos generalizada eigen vectores $x$ y $y$. $y$ no está en el subespacio generado por $x$ y con el mismo orden $p$, entonces el subespacio generado por $x$ y el subespacio generado por $y$ linealmente independientes? Para ser más precisos. es $$\operatorname{span} \{x,(A-\lambda_iI)x,...,(A-{\lambda_i}I)^{p-1}x\}\cap \operatorname{span} \{y,(A-\lambda_iI)y,...,(A-\lambda_iI)^{p-1}y \}=\{0\}?$$

Answer 1

No, porque (por ejemplo)$y$ podría ser$x$ más un elemento de orden inferior. Para un ejemplo explícito, considere la matriz $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end {pmatrix}$$ whose only eigenvalue is $\ lambda = 0$. The vectors $x = (0,01)$ and $y = (1,0,1)$ both have order $2$ and neither is in the invariant subspace generated by the other. However, $Ax = Ay = (0,1,0)$ está en el subespacio invariante generado por ambos.