Me refiero a la parte de la prueba mediante inducción matemática donde se muestra que "si es cierto para un valor k, entonces es cierto para el valor k +1". ¿Funciona la prueba por inducción sobre todos los números reales? Quiero decir, al considerar cualquier cambio arbitrario, diga "delta-x", y ver si (es cierto para el valor x) implica (es cierto para el valor x + "delta-x"); o es esto defectuoso de alguna manera.
Respuestas
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Sí. Hay formas de inducción adecuadas para probar cosas para todos los números reales. Por ejemplo, si puedes probar:
- Existe$a$ tal que$P(a)$ es verdadero
- Cada vez que$P(b)$ es verdadero, entonces existe$c > b$, por lo que$P(x)$ es cierto para todos$x \in (b,c)$
- Cuando$P(x)$ es verdadero para todos$x \in (d,e)$, entonces$P(e)$ es verdadero
luego se deduce que$P(x)$ es verdadero para todos$x \geq a $.
heropup
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Podría concebir una situación en la que uno podría tener una declaración (por ejemplo, una identidad relacionada con la función de piso) para la cual podría tener una parte de inducción y una parte de prueba directa. Por ejemplo, podría probar que una identidad particular es verdadera para todos los reales en$[0,1)$, y luego extender esa prueba por inducción en todos los intervalos de la forma$[k, k+1)$ para todos los enteros$k$, por lo tanto Estableciendo la identidad para todos los reales. Pero no creo que esto sea lo que tenías en mente.
ajotatxe
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Deje $A\subset\Bbb R$$\delta>0$. Si $[0,\delta)\subset A$ y la declaración de $$x\in A\implies \{x-\delta,x+\delta\}\subset A$$ es verdad en todos los $x\in\Bbb R$,$A=\Bbb R$.
De hecho, vamos a $y\in\Bbb R$. Supongamos por ahora que $y\geq 0$. Deje $n=\lfloor\frac y\delta\rfloor$. A continuación, $y=n\delta+x$ donde $x\in[0,\delta)$. El conjunto $B=\{n\in\Bbb Z_{\geq 0}:n\delta+x\in A\}$ es inductivo y contiene $0$, lo $B=\Bbb Z_{\geq 0}$$y\in\Bbb R$.
Para $y<0$ consideran a $n=\lfloor\frac {|y|}\delta\rfloor+1$ y escribir $y=x-n\delta$.
En síntesis, la inducción-como argumentos en $\Bbb R$ son válidos si usted acredite su estado de cuenta para todos los números de un intervalo y que los "saltos" de la misma longitud que el intervalo se garantiza hacia la izquierda y rightwards.
