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Question

Como encontrar $\lim_{x\to\infty} x^{\sin(1/x)}$?

Lo intenté

PS

Entonces

PS

Lo que no parece prometedor.

Answer 1

Cuando$x$ va a$\infty$, tiene$1/x\to 0$ y$\sin(X)\sim_{x\to 0}X$.

Entonces$$\sin(1/x)\ln(x)\sim \frac{\ln(x)}x\xrightarrow[x\to\infty]{} 0.$ $

Finalmente, como puede componer equivalentes con$\exp$, obtiene el límite$e^0=1$.

Asi que

PS

Answer 2

Después de tomar registros y escribir$h = \frac{1}{x}$, esto es lo mismo que $$ \ lim_ {h \ a 0} \ sin h \ cdot \ ln \ frac {1} {h} = - \ lim_ {h \ a 0 } \ sin h \ cdot \ ln h = - \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sin h} {h} \ cdot \ lim_ {h \ to 0} h \ cdot \ ln h \,. $$ Ambos límites deben ser familiares para usted.

Answer 3

Pista: Nuestra expresión es igual a

PS

Recordar $$(x^{1/x})^{\sin(1/x)/(1/x)}.$

Answer 4

Utiliza L'hopital's dos veces para resolver el último límite. Primero nota que$\lim_{x \to \infty} \cos(1/x)=\lim_{x \to 0}\cos(x)=1$. Entonces, podemos obtener fácilmente eso

PS

Por el teorema de compresión, el límite es$$0 \leq \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\ln^2(x)\leq \lim_{x \to \infty} \frac{\ln^2(x)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x^2}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2}=0$, lo que implica el resultado, ya que$0$.

Answer 5

$$\lim_{x\to\infty} x^{(1/x)}=1$ $$$\sin(1/x)<= 1/x $ $ por lo que el límite es$1$