Suponer que $f \in C[0,1]$ . Muestra esa $\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}(n+1)x^{n}f(x)dx=f(1)$

Question

Suponer que $f \in C[0,1]$ . Muestra esa $\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}(n+1)x^{n}f(x)dx=f(1)$.

Así es como procedí:

Supongamos que$x^{n+1}=t$. Entonces $(n+1)x^ndx=dt$. Ahora la integral se convierte en$$\int_{0}^{1}dtf(t^{\frac{1}{n+1}})$$. Now If i take $ g_n (t) = f (t ^ {\ frac {1} {n +1}})$, then $ \ lim_ {n \ to \ infty} g_ {n} (t) = f (1)$. Now I know that $ g_ {n} (t)$ $ \ a$ $ f (1) $ pointwise. Todo lo que necesito mostrar es que la convergencia es uniforme y luego finalizo.

¿Cómo demuestro que la convergencia es uniforme?

¡¡Gracias por la ayuda!!

Answer 1

La convergencia no es uniforme, como por ejemplo$(2^{-(n+1)})^\frac{1}{n+1} = \frac{1}{2}$ para todos$n$. Pero en realidad no necesita una convergencia uniforme si acepta usar el teorema de convergencia dominado.

Answer 2

La convergencia no puede ser uniforme en $[0,1]$ $(0,1)$ desde $0^{1/(n+1)} \to 0$ significa que hay una cola bajando de $1$ $0$en cada una de las $t^{1/(n+1)}$ parcela en $[0,1]$.

Pero nosotros casi han convergencia uniforme. Consideremos un $\epsilon$ intervalo de cerca de cero y, a continuación, el resto de los intervalos. Deje $M$ ser el máximo de $|f(x)|$ en nuestro intervalo. Entonces

$$\limsup_{n \to \infty} \left| \int_0^1 [f(t^{1/n}) - f(1)]dt \right| \leq \limsup_{n \to \infty} \int_0^\epsilon |f(t^{1/n}) - f(1)|dt + \limsup_{n \to \infty} \int_\epsilon^1 |f(t^{1/n})-f(1)|dt \\ \leq 2 \epsilon M + 0$$

siempre convergencia es uniforme en $[\epsilon, 1]$. Este es el caso, ya que $\sup_{x \in [\epsilon, 1]} |t^{1/n}-1| \leq |\epsilon^{1/n}-1|$ $f$ es uniformemente continua a fin de hacer $f(t^{1/n})$ uniformemente convergente a 1.

Por último, tome $\epsilon \to 0$ para obtener el limsup a ser 0, y por lo tanto el límite existe y es igual a cero.

Si alguna vez tienes un graduado de análisis de clase, a continuación, puede utilizar el teorema de convergencia dominada. Buscar el artículo de wiki. La única suposición que usted necesita es una función de $g(x)$ tal que $|f(t^{1/n})|\leq g(x)$$\int_0^1 g(x) dx < \infty$. En nuestro caso $g(x) = M$ obras.

Answer 3

Poner $ \vert $$ \vert $f$ \vert $$ \vert $$ _{\infty} $ = $ \max\limits_{x \in [0,1]} $ $ \vert $f(x)$ \vert $

f continua en 1 para : $ \forall $ $ \varepsilon $$ > $0, $ \exists $ $ \eta $$ \in $ ]0,1[, 1-$ \eta $$ \leq $ x $ \leq $ 1 $ \Rightarrow $ $ \vert $ f(x) - f(1) $ \vert $ $ \leq $ $ \varepsilon $

$ \vert $ (n+1)$\int_{0}^{1}x^{n} f(x) dx $ -f(1) $ \vert $ = $ \vert $ (n+1)$\int_{0}^{1}x^{n} (f(x)-f(1)) dx $ $ \vert $

$\vert $ (n+1)$\int_{0}^{1}x^{n} f(x) dx $ -f(1)$ \vert $ $ \leq $ (n+1)$\int_{0}^{1-\eta}x^{n}\vert f(x)-f(1)\vert dx $ + (n+1)$\int_{1-\eta}^{1}x^{n} \vert f(x)-f(1) \vert dx $

$\vert $ (n+1)$\int_{0}^{1}x^{n} f(x) dx $ -f(1)$ \vert $ $ \leq $ (n+1)$\int_{0}^{1-\eta}(1-\eta)^{n}2 \vert \vert f \vert\vert_{\infty}dx$ + (n+1)$\int_{1-\eta}^{1}x^{n} \epsilon dx $

$\vert $ (n+1)$\int_{0}^{1}x^{n} f(x) dx $ -f(1)$ \vert $ $ \leq $ 2(n+1)(1-$ \eta $)$ ^{n+1} $ $ \vert $$ \vert $f$ \vert $$ \vert $$ _{\infty} $ + $ \varepsilon $ $ \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow}$ 0

para (n+1)$\int_{0}^{1}x^{n} f(x) dx $ $ \underset{n\rightarrow +\infty}{\rightarrow}$ f(1)