Supongamos $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$
Estoy interesado en $z = \min(\mu_x, \mu_y)$. Hay un estimador imparcial para $z$?
El simple estimador de $\min(\bar{x}, \bar{y})$ donde $\bar{x}$ $\bar{y}$ se muestra de medios de $X$$Y$, por ejemplo, está sesgada (consistentes). Tiende a situarse por debajo de $z$.
No puedo pensar de un estimador imparcial para $z$. ¿Existe?
Gracias por la ayuda.
Esto es sólo un par de comentarios que no responde (no tienen suficiente rep. punto).
(1). No hay una fórmula explícita para el sesgo del estimador simple $min(\bar{x},\bar{y})$ aquí:
Clark, C. E. 1961, Mar-Abr. El mayor de un conjunto finito de variables aleatorias. La Investigación De Operaciones 9 (2): 145-162.
No está seguro de cómo esto ayuda a pesar de que
(2). Esto es sólo intuición, pero creo que un estimador no existe. Si hay un estimador, también debe ser imparcial cuando $\mu_x=\mu_y=\mu$. Por lo tanto, cualquier 'degradar' que hace que el estimador de menos de decir la media ponderada de las dos de la muestra significa que el estimador sesgado para este caso.
Tienes razón en que un estimador imparcial no existe. El problema es que el parámetro de interés no es una función suave de la base de datos de distribución debido a que no se la diferenciabilidad en $\mu_x=\mu_y$.
La prueba es como sigue. Deje $T(X,Y)$ ser un estimador imparcial. A continuación,$E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$. El lado izquierdo es diferenciable en todas partes con respecto a $\mu_x$ $\mu_y$ (diferenciar bajo el signo integral). Sin embargo, el lado derecho no es diferenciable en a $\mu_x=\mu_y$, lo que conduce a una contradicción.
Hirano y Porter tiene un general de la prueba en una próxima Econometrica de papel (ver su Proposición 1). Aquí está el documento de trabajo versión:
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